通常であれば化学の分野ですが微分・二階微分が苦手な為、数学カテゴリーにて質問します。

(P+a/Vm^2)(Vm-b)=RT ・・・式(1) ファンデルワールス式
P=RT/(Vm-b)-a/Vm^2・・・式(2) 式(1)変形式

式(2)をVmで微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂P/∂Vm)Tc = -(RTc/(Vmc-b)^2)+2a/Vmc^3 = 0 ・・・式(3)

式(2)をVmで二階微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂^2P/∂Vm^2)Tc = 2RTc/(Vmc-b)^3-6a/Vmc^4 = 0 ・・・式(4)

式(2)のa,bは式(3)および式(4)の関係を利用して
a = 9/8RTcVmc = 27R^2Tc^2/64Pc = 3PcVm^2 ・・・式(5)
b = Vmc/3 = RTc/8Pc ・・・式(6)


*私の知っている知識*
偏微分とは変数が複数ある式では、一部の変数(今回のケースはTc)を一定として仮定し通常の微分を行うこと。
微分とは、関数接点の傾きを求めること。(x^3が3x^2になる等)

これらをふまえて質問します。
質問1:式(2)→式(3)を導出する過程がわかりません(私の知っている知識にも記載しましたがx^3が3x^2となり指数が少なくなるはずなのに式(3)では指数が増えています)
質問2:式(2)→式(4)をを導出する過程がわかりません(質問1と同様の理由です)
質問3:式(5)および(6)を導出する過程がわかりません(単純な代入をしているのか?どのように変形させているのか、わからない状況です)

以上の3点です。
わかる方がいましたら、ご教授願います。

A 回答 (2件)

1、2は1番さんが書かれている通りで、V^2などが分母にきている、つまり1/V^2などの微分だからですね。



3は(3)(4)から

RTc/(Vmc-b)^2 = 2a/Vmc^3
2RTc/(Vmc-b)^3 = 6a/Vmc^4

として辺辺割り算すればすぐにVmcがでてきます。
後はそれを代入するだけでPc, Tcが決まりますから、それをa,bについて解くだけですね。
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この回答へのお礼

返答遅れ申し訳ありません
細部にわたり回答して頂きありがとうございます。
とてもわかりやすく助けられました。

お礼日時:2011/05/09 15:31

質問1: Vm^-2 が Vm^-3 になり、微分して、次数は減っています。


質問2: Vm^-2 が Vm^-4 になり、二階微分して、次数は 2 減っています。
質問3: (3)(4)から a を消去するのは簡単かと思います。
     そうすることで 1/(Vmc - b) の値が求まりますから、b が判り、
     (3)へ代入すれば a も判ります。
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この回答へのお礼

返答遅れ申し訳ありません
細部にわたり回答して頂きありがとうございます。
きちんと確認したら当たり前のことでした。

お礼日時:2011/05/09 15:27

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