実在気体の方程式微分および二階微分

通常であれば化学の分野ですが微分・二階微分が苦手な為、数学カテゴリーにて質問します。

(P+a/Vm^2)(Vm-b)=RT ・・・式(1)　ファンデルワールス式
P=RT/(Vm-b)-a/Vm^2・・・式(2)　式(1)変形式

式(2)をVmで微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂P/∂Vｍ)Tc = -(RTc/(Vmc-b)^2)+2a/Vmc^3 = 0　・・・式(3)

式(2)をVmで二階微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂^2P/∂Vｍ^2)Tc = 2RTc/(Vmc-b)^3-6a/Vmc^4 = 0　・・・式(4)

式(2)のa,bは式(3)および式(4)の関係を利用して
a = 9/8RTcVmc = 27R^2Tc^2/64Pc = 3PcVm^2　・・・式(5)
b = Vmc/3 = RTc/8Pc　・・・式(6)


＊私の知っている知識＊
偏微分とは変数が複数ある式では、一部の変数（今回のケースはTc）を一定として仮定し通常の微分を行うこと。
微分とは、関数接点の傾きを求めること。（ｘ＾3が3x^2になる等）

これらをふまえて質問します。
質問１：式(2)→式(3)を導出する過程がわかりません（私の知っている知識にも記載しましたがx^3が3x^2となり指数が少なくなるはずなのに式(3)では指数が増えています）
質問2：式(2)→式(4)をを導出する過程がわかりません（質問1と同様の理由です）
質問3：式(5)および(6)を導出する過程がわかりません（単純な代入をしているのか？どのように変形させているのか、わからない状況です）

以上の３点です。
わかる方がいましたら、ご教授願います。

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/04/24 10:49

1、2は１番さんが書かれている通りで、V^2などが分母にきている、つまり1/V^2などの微分だからですね。

３は(3)(４)から

RTc/(Vmc-b)^2 ＝ 2a/Vmc^3
2RTc/(Vmc-b)^3 ＝ 6a/Vmc^4

として辺辺割り算すればすぐにVmcがでてきます。
後はそれを代入するだけでPc, Tcが決まりますから、それをa,bについて解くだけですね。

この回答へのお礼

返答遅れ申し訳ありません
細部にわたり回答して頂きありがとうございます。
とてもわかりやすく助けられました。

お礼日時：2011/05/09 15:31

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/24 06:47

質問１：　Vm^-2 が Vm^-3 になり、微分して、次数は減っています。

質問２：　Vm^-2 が Vm^-4 になり、二階微分して、次数は 2 減っています。
質問３：　(3)(4)から a を消去するのは簡単かと思います。
　　　　　そうすることで 1/(Vmc - b) の値が求まりますから、b が判り、
　　　　　(3)へ代入すれば a も判ります。

この回答へのお礼

返答遅れ申し訳ありません
細部にわたり回答して頂きありがとうございます。
きちんと確認したら当たり前のことでした。

お礼日時：2011/05/09 15:27