∫[-∞,∞] x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx=0 {nは自然数}

上の式を証明せよ、という問題なのですがよくネットで見かけるのは

「奇関数より0」となっていて数式的な証明を見かけないです。

自分なりに証明しようと思ったのですが0になりませんでした。

x^2=t とおく [-∞,∞]→[0,∞]

(1/2)∫[0,∞] t^(n-1) * exp(-a*t) dt=(1/2)(n!/a^(n+1))

以上のようにガンマ関数になりわからなくなってしまいました

ここが間違っているなど指摘や、こんな回答もあるなどよろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

>>x^2=t とおく [-∞,∞]→[0,∞]



この時点でxとtとの対応が1対1でない。
このように変数変化したのであれば必ず1対1になるようにうまく考えなければいけない。
いずれにしてもx^2=tとおいたら
[-∞,0]→[∞,0]
[0,∞]→[0,∞]
のように2つの積分区間に分けて


∫[-∞,∞] x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx

=1/2∫[∞,0]t^(n-1) * exp(-a*t) dt+1/2∫[0,∞]t^(n-1) * exp(-a*t) dt

を計算する。

と明らかに積分区間で両者とも∞→0→∞のように折り返して0になると思いがちだが、ここにも
一つ罠に気をつけるべき。
それは両者とも"収束性を持つかどうか"ということ。
しかしここでは君の回答
(1/2)∫[0,∞] t^(n-1) * exp(-a*t) dt=(1/2)(n!/a^(n+1))

で分かっているので両者が明らかに収束するというのは言うまでもないが、

おそらくこれは部分積分を繰り返して求めたはず。

一般的には部分積分、置換積分等行っても解けない積分というものがある。

そのためには大事な概念としては"積分不等式"を上手に作るということだ。

この場合だと

I⊂Rを任意の区間として固定し
max{I⊂R}|∫I t^(n-1) * exp(-a*t) dt| <M

なる定数Mが存在するかどうかということ。
暇があれば上の不等式が成り立つMを定めるとよい。
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ここが間違っている。


x^2 = t と置いたなら、
∫[-∞,∞] x^(2n-1) exp(-a x^2) dx = (1/2)∫[0,∞] t^(n-1) exp(-a t) dt
にはならない。
被積分関数が x^(2n-1) = { (x^2)^n } / x ≠ { t^n } / t = t^(n-1) だし、
積分区間も、∫[0,∞] ではなく ∫[∞,∞] になるはず。
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例えば・・・、


∫[-∞,∞] x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx
=∫[-∞,0]x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx + ∫[0,∞]x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx
と分けてみて、第一項目の積分においてx = -tとでも置いてxからtに変換してみると
第一項目の積分は-∫[0,∞]t^(2n-1) * exp(-a*t^2) dtとなって、結局第一項目の積分と第二項目の積分の和が0になる。
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