∫[-∞,∞] x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx=0 {nは自然数}

上の式を証明せよ、という問題なのですがよくネットで見かけるのは

「奇関数より0」となっていて数式的な証明を見かけないです。

自分なりに証明しようと思ったのですが0になりませんでした。

x^2=t とおく [-∞,∞]→[0,∞]

(1/2)∫[0,∞] t^(n-1) * exp(-a*t) dt=(1/2)(n!/a^(n+1))

以上のようにガンマ関数になりわからなくなってしまいました

ここが間違っているなど指摘や、こんな回答もあるなどよろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

>>x^2=t とおく [-∞,∞]→[0,∞]



この時点でxとtとの対応が1対1でない。
このように変数変化したのであれば必ず1対1になるようにうまく考えなければいけない。
いずれにしてもx^2=tとおいたら
[-∞,0]→[∞,0]
[0,∞]→[0,∞]
のように2つの積分区間に分けて


∫[-∞,∞] x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx

=1/2∫[∞,0]t^(n-1) * exp(-a*t) dt+1/2∫[0,∞]t^(n-1) * exp(-a*t) dt

を計算する。

と明らかに積分区間で両者とも∞→0→∞のように折り返して0になると思いがちだが、ここにも
一つ罠に気をつけるべき。
それは両者とも"収束性を持つかどうか"ということ。
しかしここでは君の回答
(1/2)∫[0,∞] t^(n-1) * exp(-a*t) dt=(1/2)(n!/a^(n+1))

で分かっているので両者が明らかに収束するというのは言うまでもないが、

おそらくこれは部分積分を繰り返して求めたはず。

一般的には部分積分、置換積分等行っても解けない積分というものがある。

そのためには大事な概念としては"積分不等式"を上手に作るということだ。

この場合だと

I⊂Rを任意の区間として固定し
max{I⊂R}|∫I t^(n-1) * exp(-a*t) dt| <M

なる定数Mが存在するかどうかということ。
暇があれば上の不等式が成り立つMを定めるとよい。
    • good
    • 0

ここが間違っている。


x^2 = t と置いたなら、
∫[-∞,∞] x^(2n-1) exp(-a x^2) dx = (1/2)∫[0,∞] t^(n-1) exp(-a t) dt
にはならない。
被積分関数が x^(2n-1) = { (x^2)^n } / x ≠ { t^n } / t = t^(n-1) だし、
積分区間も、∫[0,∞] ではなく ∫[∞,∞] になるはず。
    • good
    • 0

例えば・・・、


∫[-∞,∞] x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx
=∫[-∞,0]x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx + ∫[0,∞]x^(2n-1) * exp(-a*x^2) dx
と分けてみて、第一項目の積分においてx = -tとでも置いてxからtに変換してみると
第一項目の積分は-∫[0,∞]t^(2n-1) * exp(-a*t^2) dtとなって、結局第一項目の積分と第二項目の積分の和が0になる。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
...続きを読む

Qlim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比べる
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2

という風に1/2が答えとして出たのですが、間違っているとこ、足りないところなどありましたらご指摘お願いします。

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比...続きを読む

Aベストアンサー

「これを最初の式と比べる」以降の計算は、
各 lim が収束することを根拠なく仮定している。
もう一度、ロピタルを使えば良かったのに。

Q力のモーメントについて質問です。 やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

力のモーメントについて質問です。

やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

問題.
図1.49のように、棒の点A,BにモーメントMA,MBを加えたい。この棒が回転せずに静止するとき、C点に加えることが必要な反力RCとモーメントMCを求めよ

解答.
RC=0, MC=MA+MB

力のつりあいからRC=0
モーメントのつりあいから、MC=MA+MB

は何となく理解できるのですが、そもそもモーメントを加えるというのがよくわかりません。高校の時のモーメントは[力×距離]だったので、距離によって〜点周りのモーメントは違いましたが、MAやMBはどの点周りのモーメントでも変わらないのですか?

Aベストアンサー

>はどの点周りのモーメントでも変わらないのですか?
そのように考えてよいと思います。
「力のモーメント」は,距離×力 でしたが,モーメントそのものは物体(剛体)のどの点に作用していても,同じ効果(同じモーメント (笑))と考えましょう。
 
>そもそもモーメントを加えるというのがよくわかりません。
ドライバー(ねじ回し)で,物体のある点にモーメント(回転力?)を加えるイメージが,近いのではないかと思います。
 
それでも,イメージし難ければ,
棒は水にでも浮いているものと考え,図はそれを上から見下ろしているものと考えましょう。
A,B,C点には(ヘリコプターのような)小型プロペラが取り付けてあり,回転することにより(棒に)(反力?としての)モーメントが掛かると考えましょう。
反力 Rc は外から棒に水平に加える「力」です。(これが加わると,水の上を水平に(図では上方に)棒が移動します。)

Q∫cosh^2(x)/(a^2+(b-x)^2)dxを-∞<x<∞の範囲で定積分をしたいのですが、やり方を...

∫cosh^2(x)/(a^2+(b-x)^2)dxを-∞<x<∞の範囲で定積分をしたいのですが、やり方を教えて頂けませんか?
最終的には、bを変数としてグラフを描くことが目標です。

mapleを(初心者ですが)使って不定積分すると、

-2/[(e^x)^2+1](a^2+b^2-2bx+x^2)+∫4(b-x)/(a^2+b~2^2bx+x^2)^2((e^x)^2+1)dx

となり、積分結果に積分が出てきます。

また、直接定積分を行うと積分されずにそのままの∫の形で表示されます。
mapleの使い方が悪いのか、そもそも扱っている式が難しいのかわかりません。
数値計算を行う方が適していたら、その方法もお教え下さい。

申し訳ありませんが、どなたか教えて下さい。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Maple持っていますが、pet_bottle さんと結果が違います。被積分関数が質問の通りならMapleコマンドは以下のようになります。
   int(cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2),x);
この結果は虚数とarctanと指数積分(∫exp(-x*t)/t^n dt )を含むかなり複雑な式になり、-∞~+∞までの定積分は∞となります。
   int(cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2),x=-inifity..infinity); → ∞
被積分関数は cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2) で正しいですか?

定積分が発散しないなら、以下のコマンドで、定積分を a と b の関数として
   f:=(a,b)->evalf(int(被積分関数),x=-infinity..infinity));
で定義して、以下のコマンドで3Dグラフが描けます。
   plot3d(f(a,b),a=0..1,b=0..1,axes=boxed,grid=[50,50]);

Q反力の分布、モーメントのつり合い

こんにちは、力学についてに質問です。材料力学を勉強し始めたもので、ぜひ勉強させて頂きたく、以下のわたくしの疑問や説明について間違っている点やコメントなど頂けますととてもありがたいです。

添付の図のように黄色の物体が壁に張り付いており、外力F(直線の赤矢印)が働いています。これに対して、壁は反力として同じ大きさのFで反対方向の力を物体に与えます。また、物体が回転しないようにモーメントのつり合いを考えなければなりません。この反力の分布と、モーメントのつり合い、さらには壁がもたらすモーメントとの正体についてご教示頂ければと思い投稿させて頂きました。どうぞよろしくお願いします。

(1) 点A周りのモーメントのつり合いを考えます。外力Fは点A周りにモーメントを起こし、それはFRの大きさで、反時計回りです。このモーメントを打ち消すために、壁も点A周りにモーメントを起こしているはずです。なので壁からのモーメントは大きさFRで時計回りのはずです。ここまではOKなのですが、次がわからない点でして、どうかよろしくお願いします。

(2)点B周りのモーメントですが、やはり外力FがFRで反時計回りのモーメントを起こしています。しかし、壁からの反力が均一である場合、緑のラインに関する対称性から反力はB周りにトルクを生じません。ですので、外力Fによるモーメントを打ち消すモーメントが存在しません。

すると、反力は図面のように均一ではなく、不均一なのでしょうか。つまり、B周りに時計回りのモーメントを起こすように分布(上部が大きく、下部が小さい)しているのでしょうか。

であるならば、この不均一な反力は点Aにも時計回りのモーメントを起こし、それは点Bのものとまったく同じ大きさとなり、FRです。すると、不均一反力によるモーメントと外力によるモーメントの合計がゼロとなり、(1)での議論、点Aでのモーメントのつり合いは、完結してしまい、(1)で挙がった「壁が起こすモーメント」が不要となります。どういうことでしょうか。

「壁が起こすモーメント」の正体は結局のところ「不均一な反力により生じるモーメント」ということでしょうか。

ぜひ、ご教示頂ければと思います。
宜しくお願い致します。

こんにちは、力学についてに質問です。材料力学を勉強し始めたもので、ぜひ勉強させて頂きたく、以下のわたくしの疑問や説明について間違っている点やコメントなど頂けますととてもありがたいです。

添付の図のように黄色の物体が壁に張り付いており、外力F(直線の赤矢印)が働いています。これに対して、壁は反力として同じ大きさのFで反対方向の力を物体に与えます。また、物体が回転しないようにモーメントのつり合いを考えなければなりません。この反力の分布と、モーメントのつり合い、さらには壁がもたら...続きを読む

Aベストアンサー

まず,前提条件を明確にしておきましょう。

この構造をAB方向に長い梁と考え,高さをh,画面奥行き方向は一定寸法tとします。
すなわちこの梁の断面は,h×tの長方形とします。
(断面積S=ht,画面内曲げに関する断面二次モーメントI=h^3t/12)

するとこの梁は断面が上下対称のため,中立軸はABを結ぶラインとなります。
モーメントもこのラインに関して計算することになります。

ここまでは,あなたの認識との違いはないと思います。

さてあなたの問題提起について考えましょう。

まず(1)については,あなたの認識どおりです。

では(2)は?
あなたが間違っているのは
「壁からの反力が均一である場合」
というところです。
Fが中立軸上に及ぼすモーメントMは,どこでも等しく,その値はM=FRとなります。
このモーメントはA点を通じて壁にも作用し,反力分布を発生させます。

モーメントMによって発生する反力分布(言い替えれば応力分布)σMは一様分布にはならず,h方向に線形分布します。
上端におけるその値はσM=-Mh/(2I),下端においてはσM=Mh/(2I),中立軸上で0です。
壁にはモーメントのほか,Fによる圧縮力が直接作用するので,この圧縮応力σCも考えなければなりません。
その値はσC=-F/Sです。

要は,Fが圧縮荷重で,作用する位置が図の通り中立軸よりも上側だとすると,この梁の左端には,
上側で
-Mh/(2I)-F/Sの圧縮応力
下側で
Mh/(2I)-F/Sの応力
が発生します。(下側が引張と圧縮のどちらになるかは,Rの大きさ次第です。)

結論として,F×Rで発生したモーメントは,梁のどこにおいても消失することはありません。
壁からの反力は,決して均一ではないのです。

なお,「中立面より上に圧縮応力、下は引張応力が生じ、面積を掛ければ力になる」という考え方は,一般論としては間違いではないのですが,この場合には結論を導くための有用な情報にはなりません。

まず,前提条件を明確にしておきましょう。

この構造をAB方向に長い梁と考え,高さをh,画面奥行き方向は一定寸法tとします。
すなわちこの梁の断面は,h×tの長方形とします。
(断面積S=ht,画面内曲げに関する断面二次モーメントI=h^3t/12)

するとこの梁は断面が上下対称のため,中立軸はABを結ぶラインとなります。
モーメントもこのラインに関して計算することになります。

ここまでは,あなたの認識との違いはないと思います。

さてあなたの問題提起について考えましょう。

まず(1)につい...続きを読む

Q∫(x^(n-1) * e^(-x))dx (x : 1→∞)という式

∫(x^(n-1) * e^(-x))dx (x : 1→∞)という式の
n=0 と n=1 の時の解を教えていただけないでしょうか.

Aベストアンサー

F(n)=∫(1→∞){x^(n-1)・e^(-x)}dxとおくと
F(1) = 1/e
F(0) = ∫(1→∞){(1/x)・e^(-x)}dx = 0.219383934・・・

Q標準正規分布のモーメント母関数

標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

モーメント母関数をM(t)とすると、モーメント母関数の定義により、M(t)=E(exp(tX))です。ただし、Xは、標準正規分布に従う確率変数で、E( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、

M(t) = exp(t^2/2)

となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの3次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの4次モーメント = M''''(0) = 3

となります。

Q積分∫[-∞,∞]cosbx*exp(-ax^2)dx

 タイトルの実定積分を複素積分を利用(留数定理等)して行いたいのですが、上手くいきません。
 a=const>0,b=const,ガウス積分利用可です。

 フーリエんとこ勉強していたのですが、
形的には∫[∞,∞]exp(-ikx)*f(x)dxが一般的な形ではないかと・・
f(x)=exp(-ax^2)の場合です。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

面倒なことを無視して、ただ計算すればいいだけなら、
∫[-∞,∞]cosbx*exp(-ax^2)dx
= Re[∫[-∞,∞]exp(-ax^2+ibx)dx]
= Re[∫[-∞,∞]exp(-a(x-ib/(2a))^2 - b^2/(4a))dx]
= √(π/a) * exp(-b^2/(4a))
です。

Q力のモーメントについて質問です。 やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

力のモーメントについて質問です。

やってる内容は材料力学なのですが、わかる方いたら教えて欲しいです。

問題.
図1.49のように、棒の点A,BにモーメントMA,MBを加えたい。この棒が回転せずに静止するとき、C点に加えることが必要な反力RCとモーメントMCを求めよ

解答.
RC=0, MC=MA+MB

力のつりあいからRC=0
モーメントのつりあいから、MC=MA+MB

は何となく理解できるのですが、そもそもモーメントを加えるというのがよくわかりません。高校の時のモーメントは[力×距離]だったので、距離によって〜点周りのモーメントは違いましたが、MAやMBはどの点周りのモーメントでも変わらないのですか?

Aベストアンサー

この図だけではなんだかわかりませんね。

Ma, Mb, Mc は棒の「中心軸」に対するモーメントなんでしょうか?

Rcは反力となってますが、なにに対する反力?

Q積分の計算 I=∫[-∞~+∞] ((x^2+x+2)/(x^4+10

積分の計算 I=∫[-∞~+∞] ((x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9))dx

という積分Iを解ける方がいましたら参考にさせて頂きたいです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

#1さんのヒントの通り、こういう問題の定石は被積分関数の分母を因数分解し、部分分数展開してから積分することです。

((x^2+x+2)/(x^4+10x^2+9))
=(x^2+x+2)/((x^2+1)(x^2+9))
=(1/8)(x+1)/(x^2+1) - (1/8)(x-7)/(x^2+9)
=(1/8)x/(x^2+1)+(1/8)1/(x^2+1)-(1/8)x/(x^2+9)+(7/8)/(x^2+9)

I=(1/8)∫x/(x^2+1)dx+(1/8)∫1/(x^2+1)dx-(1/8)∫x/(x^2+9)dt+(7/8)∫1/(x^2+9)dx
= … (途中計算は出来ると思いますのでやってみてください)
=(1/16)log(x^2+1)+(1/8)tan^-1(x)-(1/16)log(x^2+9)+(1/16)log(x^2+1)
+(7/24)tan^-1(x/3)) +C

分からなければ補足で質問下さい。


おすすめ情報