極方程式

点Ａの極座標を(2,0)とし、極Oと点Ａを結ぶ線文を直径とする円Cの周上の任意の点をＱとする。
点Ｑにおける円Ｃの接線に極Ｏから垂線OPを下ろすとき、点Pの軌跡の極方程式を求めよ。
ただし、点Ｐの偏角θは0≦θ＜πとする。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/26 04:22

円C:r=2cosθ（-π/2＜θ＜π/2）　←　中心(1,0),半径1の円

円C上の接点Qの直交座標を(1+cos(2t),sin(2t))とすると
接線:(x-1)cos(2t)+ysin(2t)=1　…(1)
直線CQ：y=(x-1)tan(2t)
直線OP：y=xtan(2t) …(2)
(1)と(2)の交点(x,y)の軌跡の極方程式は
(1),(2)からパラメータのtを消去すればよい。
極方程式を得るには、x=rcosθ,y=rsinθを代入して交点Pの(x,y)座標を極座標P(r.θ)の関係にすればよい。

計算すると次のPの軌跡の極方程式r=1+cosθが求まる。
r=1+cosθ(0≦θ＜π)
となります。
これは0≦θ＜πなので参考URLのカージオイド曲線の上半分(a=1の場合)のグラフになります。

参考URL：http://www.wakayama-u.ac.jp/~ysaito/high order.html#カージオイド・リマソン

この回答への補足

極方程式を得るには、x=rcosθ,y=rsinθを代入して交点Pの(x,y)座標を極座標P(r.θ)の関係にすればよい。

計算すると次のPの軌跡の極方程式r=1+cosθが求まる。
r=1+cosθ(0≦θ＜π)
と書いているところの途中式を教えていただけないでしょうか？
数学Cも数学3もやったことなかったのですみません。

補足日時：2011/04/26 20:40

この回答へのお礼

ありがとうございました。
数学Cも数学3もやったことなかったのですみません。
計算するとのところ採算途中も書いてはいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

お礼日時：2011/04/26 20:51

No.2 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/04/27 06:04

　すべて極座標系(R,Θ)で考えてみてはいかがでしょうか。

　まず直線OPの方程式は　Θ=θ　・・・・(1)　です。
　次に直線PQの方程式を求めますと　Rcos(Θ-θ)=OP　・・・・(2)　となります。（ここでOPは線分OPの長さです。）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/par …

　直線PQと始線との交点を点Rとしますと、線分CQ,OC,CR,OR の長さが分かりますので　△CQR∽△OPR　から　OP　が求められます。
　これを式(2)に代入すると　直線PQの方程式(式(3)）が確定します。

　点Pは直線OPと直線PQの交点ですので、式(1),(3)を連立して、R→r, Θ→θ　と置き換えれば　ANo.1さんと同じ方程式が得られます。

この回答へのお礼

ありがとうございました
絵を描いて考えたら説明の通りに考えてたら出来ました

お礼日時：2011/04/27 19:05

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/04/27 06:28

　＃２です。

　よく考えたら点Pの偏角θは与えられていますので直線PQの方程式を考える必要はありません。
　ただ　線分OPの長さを求めればよいだけです。（これは△CQR∽△OPRから求めてください。）
　そうすれば　r=OP で点Pの軌跡の極方程式が求められます。

　よろしければ参考にしてください。

この回答へのお礼

出来ました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/04/27 19:07