いつも大変お世話になります。

三角関数のことでご指導願います。

角度からラジアンの求めかたは理解できるのですが、なぜラジアンからSIN(高さ)をもとめることが出来るのでしょうか?

SIN(ラジアン)により、例えばEXCELなどでSIN(2.3)と入力すると0.7457・・・と高さがでますが、なぜ0.7457・・・となるのでしょうか?こういうものだと思えばそれでいいのですが、なぜそうなるのか分りません。

計算式を踏まえてご説明いただきたく宜しくお願いいたします。

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A 回答 (7件)

>SIN(高さ)



とは、単位円上でのsinの値という意味に取ります。これで良いですか?。


 以下は、これで良いとしての話です。

>角度からラジアンの求めかたは理解できるのですが、なぜラジアンからSIN(高さ)をもとめることが出来るのでしょうか?

 角度とsinの値の関係(角度の関数としてのsin関数)の理屈としては、#4さんに尽きます。どう考えたって、そうですよね?^^。問題は、

>SIN(ラジアン)により、例えばEXCELなどでSIN(2.3)と入力すると0.7457・・・と高さがでますが、なぜ0.7457・・・となるのでしょうか?

の一文だと思います。たぶんここで対比されてるのは、x^nとか、x^n/(x+a)などの、整関数や有理関数の事だと思いました(^nはn乗を表し、nは0以上の整数)。確かにこれらは、(頑張れば)四則演算の筆算で計算可能です。でもsin(x)やcos(x)はそうでない、という質問だと考えました。

 じつはテイラー級数という四則演算のみを使用した、sin(x)やcos(x)の展開公式があるのです。これらの展開公式を用い、(頑張れば)筆算でも、sin(x)やcos(x)の「近似値なら」、四則演算で計算できます。

 ここで「近似値なら」と言うのは、それらの展開公式が、

  sin(x)=a0+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+・・・   (1)

という終わりのない足し算になるからです。「・・・」は、「どこまでも」の意味です。あなたがExcelや関数電卓やPCで目にする、SIN(2.3)の値とは、(1)の足し算を途中で(有限個の足し算で)打ち切った、近似値なのです。今は、計算機の自動化が進んでいるので、当然のようにSIN(2.3)の値を計算できるように見えますが、本当はそうではありません。

 昔は三角関数表というのがありました。まさに0~90°を100分割くらいして、0.01°ごとに(1)の値を、10数項足し上げて筆算で計算して表にしたものが、sinやcosを実務で使う測量技術者の聖典でした。

 数学にも、このような事情を反映した用語があります。x^nやx^n/(x+a)などは、たんに初等関数と言われます。たぶん四則演算(筆算)だけで、完璧に計算できるという意味だと思います(頑張れば)。それに対して、sin(x),cos(x),a^x,log(x)は、初等「超越」関数と言われます。「超越」とは、頑張っても筆算だけでは厳密値は無理、という意味でしょう。

 超越なのに(筆算では厳密値は不可能なのに)、どこが初等なの?という話は当然と思いますが、しょせんは慣れです。三角関数は、エジプトの昔から利用されていて、テイラー級数なんか知らなかった当時の測量技術者達は、でっかい紙にでっかい円を描いて、定規で測ってsinの値を決めてたのだと想像できます。じつは同じ事を、でっかいコンパスでやり(何故か持ってた)、関数電卓もPCもExcelもない状況で、三角関数表をコンベックスで作った経験があります(後処理が大変でしたが・・・)。


 長くなりましたが、

>なぜ0.7457・・・となるのでしょうか?こういうものだと思えばそれでいいのですが・・・

 以上の経緯より、「こういうものだと思えばそれで」良いのです。指数関数a^xと対数関数log(x)で、それを体現するのが、「計算尺」です。

 ご存知ですか?・・・^^。
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この回答へのお礼

なるほど。なるほど。
SIN(高さ)とは単位円あたりのことです。説明が不十分でした。
実は私、高校時代あまり数学に興味を持てず最近になって、三角関数のいろいろを勉強させてもらってます。
そこでS単位円あたりのIN(ラジアン)により、y値が求められることを知り、ふと思ったのです。
あれ?SINってそもそも直角三角形における高さ/斜辺、(正弦/正接)だけど、ラジアンから単位円あたりのSIN(高さ)ってどうやってコンピューターは計算しているのだろう?
コンピュータのない時代は、どうやって一覧表みたいなものを作ったのだろうって思ったのがこの質問の始まりでした。
ご回答ありがとうございました。
どうやらこの疑問はさらにもう少し勉強する必要があるみたいです。もうすこし考えて見ます。

お礼日時:2011/04/27 16:23
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2.3/3/3/3/3/3/3/3/3=2.3/3^8=0.00035055・・・


sin(0.00035055・・・)=0.00035055 として
sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3   を8回繰り返すと
sin2.3=0.7457・・・
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角度から弧度(ラジアン)を求められるのなら、


弧度から角度を求めることもできますね?
それと、角度から sin が決まることが解るのなら、
弧度から sin が決まることが、実は解っている
ということではないでしょうか。
どこに疑問が?
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質問文を読み返してみたら、変な記述がありますね。



ラジアンというのも角度の表し方の一つです。
そして、sinの引数は角度だけです。
sin45°とかsin(π/2)とか。
sinの引数として、長さ(高さ)は使えません。
sin(高さ)って、何のことでしょうか?

sinとは何なのか、理解していますか?
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計算式も何も、そういうものです。


sin2.3≒0.7457
です。

sin(π/4)=√2/2≒0.707
というのは解りますか?
π/4≒0.785 なので、
sin0.785≒√2/2≒0.707
と書くこともできます。
それと同じです。
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>角度からラジアンの求めかたは理解できる



理解出来ているのは「角度の単位を、度からラジアンに変換する方法」だけ。

角度の単位は

・円周を360等分したものを1度、1度を60等分したものを分、分を60等分したものを秒とする単位(度数法)

・2πを円周とする単位(ラジアン)

・直角を100等分したものを1グラードとする単位(グラード)

・円周を6400等分したものを1ミルとする単位(ミル)

などがあります。

で、EXCELなどでは「角度はラジアンで与える」と言う決まりになっているだけ。

2.3ラジアンは、131.7803度(131度46分49秒)です。

なので、

正弦131.7803度=SIN(2.3)=0.7457...

になります。

正弦131.7803度が0.7457...になる理由は、

「斜辺の長さが1で、底辺と斜辺で挟まれた角の角度が131.7803度の直角三角形では、高さが0.7457...になる」

からです。言い換えれば、

「斜辺の長さが1で、底辺と斜辺で挟まれた角の角度が2.3ラジアンの直角三角形では、高さが0.7457...になる」

になります。

普段、一般の日本人は、角度は「度(度数法)」で表します。長さは「メートル法」で表します。

「角度を度で表さず、ラジアンで表す」のは、言わば「長さをメートルで表さず、フィートとインチで表す」ような物です。

単位を変えただけであり、角度、長さの「本質」は何も変わりません。

「角度からラジアンの求めかたを理解した」ってのは、長さで言えば「メートルから、フォート・インチの求めかたを理解した」ってだけの事で、SIN(2.3)が意味する事、その値の0.7457...については、何も理解できていません。

ご自分が、ラジアンについて、三角関数について、何も理解してないと言う事が判りましたか?
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Aベストアンサー

siegmund です.

> 2×3.14×r=360になるということですか?

まず,r(円の半径?)は関係ありません.
半径を2倍すれば弧の長さも2倍になるからです.
それから,
2×3.14 [ラジアン] =360 [度]
です.
つまり角度を測る単位が違うのです.
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Aベストアンサー

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2π[ラジアン]=360°ですね。
相互の単位の変換はこの比で比例配分して変換します。
分数の書き方は以下を参考にして行って下さい。
分子/分母
と斜線(スラッシュ/)を使って書きます。
分数の後に何かを書ける場合は分数を括弧()で囲んでください。

30°=2π*30/360[rad]=π/6[rad]
π/2[rad]=360*(π/2)/(2π)[°]=90°
ということです。通常[rad]の単位は省略されます。
詳しくは下記URLを読んでください。教科書や参考書にも載っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6

2π=360°,π=180°と考えて、後はどんどん使って使って慣れて下さい。

ヒント)
(1)sin((21/4)π)=sin((21/4)*180°)
 =sin945°=sin225°
 =-sin45°= ←あとは分かりますね。

(2)cos(-(11/3)π)=cos((11/3)π)=cos(4π-π/3)
 =cos(π/3)=cos(180°/3)
 =cos60°= ←あとは分かりますね。

(3)tan(-(19/6)π)=-tan((19/6)π)=-tan(3π+π/6)
=tan(π/6)=tan(180°/6)
 =tan30°= ←あとは分かりますね。
 

ラジアンは
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高校で微分、積分を習うと、これまでの度数法角度では、積分や微分に不都合なので、新たに「弧度法」の角度の単位を定義して使うことが行われます。
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直角三角形を見てsin cos tanは分かりますが


sin60°sin45°sin30°sin90°など…
全てsinで書かれていて

図をどうみて、どう求めたらイイのか訳分かりません。

どうやって求めればイイんでしょうか?


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

直角三角形ならわかるのですよね?
それでしたら、
30°、45°、60°については、こちら。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/sankakuhi/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/sankakuhi/kihon-sankakkei.html

sin90°は、角度が大きすぎて三角形がつぶれた状態なので、
sin90°= 1
です。


ご参考に。

QラジアンとSINの関係

いつも大変お世話になります。

三角関数のことでご指導願います。

角度からラジアンの求めかたは理解できるのですが、なぜラジアンからSIN(高さ)をもとめることが出来るのでしょうか?

SIN(ラジアン)により、例えばEXCELなどでSIN(2.3)と入力すると0.7457・・・と高さがでますが、なぜ0.7457・・・となるのでしょうか?こういうものだと思えばそれでいいのですが、なぜそうなるのか分りません。

計算式を踏まえてご説明いただきたく宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

>SIN(高さ)

とは、単位円上でのsinの値という意味に取ります。これで良いですか?。


 以下は、これで良いとしての話です。

>角度からラジアンの求めかたは理解できるのですが、なぜラジアンからSIN(高さ)をもとめることが出来るのでしょうか?

 角度とsinの値の関係(角度の関数としてのsin関数)の理屈としては、#4さんに尽きます。どう考えたって、そうですよね?^^。問題は、

>SIN(ラジアン)により、例えばEXCELなどでSIN(2.3)と入力すると0.7457・・・と高さがでますが、なぜ0.7457・・・となるのでしょうか?

の一文だと思います。たぶんここで対比されてるのは、x^nとか、x^n/(x+a)などの、整関数や有理関数の事だと思いました(^nはn乗を表し、nは0以上の整数)。確かにこれらは、(頑張れば)四則演算の筆算で計算可能です。でもsin(x)やcos(x)はそうでない、という質問だと考えました。

 じつはテイラー級数という四則演算のみを使用した、sin(x)やcos(x)の展開公式があるのです。これらの展開公式を用い、(頑張れば)筆算でも、sin(x)やcos(x)の「近似値なら」、四則演算で計算できます。

 ここで「近似値なら」と言うのは、それらの展開公式が、

  sin(x)=a0+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+・・・   (1)

という終わりのない足し算になるからです。「・・・」は、「どこまでも」の意味です。あなたがExcelや関数電卓やPCで目にする、SIN(2.3)の値とは、(1)の足し算を途中で(有限個の足し算で)打ち切った、近似値なのです。今は、計算機の自動化が進んでいるので、当然のようにSIN(2.3)の値を計算できるように見えますが、本当はそうではありません。

 昔は三角関数表というのがありました。まさに0~90°を100分割くらいして、0.01°ごとに(1)の値を、10数項足し上げて筆算で計算して表にしたものが、sinやcosを実務で使う測量技術者の聖典でした。

 数学にも、このような事情を反映した用語があります。x^nやx^n/(x+a)などは、たんに初等関数と言われます。たぶん四則演算(筆算)だけで、完璧に計算できるという意味だと思います(頑張れば)。それに対して、sin(x),cos(x),a^x,log(x)は、初等「超越」関数と言われます。「超越」とは、頑張っても筆算だけでは厳密値は無理、という意味でしょう。

 超越なのに(筆算では厳密値は不可能なのに)、どこが初等なの?という話は当然と思いますが、しょせんは慣れです。三角関数は、エジプトの昔から利用されていて、テイラー級数なんか知らなかった当時の測量技術者達は、でっかい紙にでっかい円を描いて、定規で測ってsinの値を決めてたのだと想像できます。じつは同じ事を、でっかいコンパスでやり(何故か持ってた)、関数電卓もPCもExcelもない状況で、三角関数表をコンベックスで作った経験があります(後処理が大変でしたが・・・)。


 長くなりましたが、

>なぜ0.7457・・・となるのでしょうか?こういうものだと思えばそれでいいのですが・・・

 以上の経緯より、「こういうものだと思えばそれで」良いのです。指数関数a^xと対数関数log(x)で、それを体現するのが、「計算尺」です。

 ご存知ですか?・・・^^。

>SIN(高さ)

とは、単位円上でのsinの値という意味に取ります。これで良いですか?。


 以下は、これで良いとしての話です。

>角度からラジアンの求めかたは理解できるのですが、なぜラジアンからSIN(高さ)をもとめることが出来るのでしょうか?

 角度とsinの値の関係(角度の関数としてのsin関数)の理屈としては、#4さんに尽きます。どう考えたって、そうですよね?^^。問題は、

>SIN(ラジアン)により、例えばEXCELなどでSIN(2.3)と入力すると0.7457・・・と高さがでますが、なぜ0.7457・・・...続きを読む

Qsin3/5の三角関数値を求めよπtan(-3/25π)の三角関数の値を求めよという問題の解き方

sin3/5の三角関数値を求めよ
πtan(-3/25π)の三角関数の値を求めよ
という問題の解き方と回答を教えください!

Aベストアンサー

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解析的に求めるのは無理です。級数展開

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-....

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結果だけを知りたければ関数電卓があればよいでしょう。

sin3/5=0.56464247...


πtan(-3/25π)

これも級数展開以外の方法はないでしょう。

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関数電卓を使うと

tan(-3/25π)=-0.395928..

πtan(-3/25π)=-1.243844...

Qラジアンの計算

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θ=1/10**5(10の5乗という意味です)のとき、
tan(θ/2)はいくらか?

解き方を教えて下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

θの単位がラジアンなら 128yen さんの回答
θの単位が度なら takehiro_m さんの回答のようになります。

あと、補足ですが
ラジアン単位の場合、今のようにθが1に比べて非常に小さいときは
 tan(θ/2)≒ θ/2
の近似式が使えるので、計算機を使うまでもなく
 5*10^(-6) [rad]
と出てきます。

Qsin A + sin B = 2 sin....

sin A + sin B = 2 sin [(A+B)/2] cos[(A-B)/2]

以前同じ質問をさせて頂き理解したつもりでしたが再び躓いております。
初歩に戻ってまたやり直しているのですが基本が分かりません。

sin A + sin B が 2 sin [(A+B)/2] cos[(A-B)/2] になる過程を見せて頂けますか?
自分でやると 2[(sinAcosB+cosAsinB)/2][(cosAcosB + sinAsinB)/2] となり収集がつかなくなってしまいます。

細かく見せていただけないでしょうか?
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

A = ((A+B)/2 + (A-B)/2);
B = ((A+B)/2 - (A-B)/2);

なので、

sin A + sin B

= sin ((A+B)/2 + (A-B)/2) + sin ((A+B)/2 - (A-B)/2)

= sin ((A+B)/2)coa((A-B)/2) + cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
+ sin ((A+B)/2)coa((A-B)/2) - cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

=2sin ((A+B)/2)coa((A-B)/2)

となる。
加法定理は大丈夫でしょうか?


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