ラジアンとSINの関係

いつも大変お世話になります。

三角関数のことでご指導願います。

角度からラジアンの求めかたは理解できるのですが、なぜラジアンからSIN（高さ）をもとめることが出来るのでしょうか？

SIN（ラジアン）により、例えばEXCELなどでSIN（2.3）と入力すると0.7457・・・と高さがでますが、なぜ0.7457・・・となるのでしょうか？こういうものだと思えばそれでいいのですが、なぜそうなるのか分りません。

計算式を踏まえてご説明いただきたく宜しくお願いいたします。

No.5 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2011/04/26 19:46

＞SIN（高さ）

とは、単位円上でのsinの値という意味に取ります。これで良いですか？。


　以下は、これで良いとしての話です。

＞角度からラジアンの求めかたは理解できるのですが、なぜラジアンからSIN（高さ）をもとめることが出来るのでしょうか？

　角度とsinの値の関係（角度の関数としてのsin関数）の理屈としては、#4さんに尽きます。どう考えたって、そうですよね？^^。問題は、

＞SIN（ラジアン）により、例えばEXCELなどでSIN（2.3）と入力すると0.7457・・・と高さがでますが、なぜ0.7457・・・となるのでしょうか？

の一文だと思います。たぶんここで対比されてるのは、x^nとか、x^n／(x＋a)などの、整関数や有理関数の事だと思いました（^nはｎ乗を表し、ｎは0以上の整数）。確かにこれらは、（頑張れば）四則演算の筆算で計算可能です。でもsin(x)やcos(x)はそうでない、という質問だと考えました。

　じつはテイラー級数という四則演算のみを使用した、sin(x)やcos(x)の展開公式があるのです。これらの展開公式を用い、（頑張れば）筆算でも、sin(x)やcos(x)の「近似値なら」、四則演算で計算できます。

　ここで「近似値なら」と言うのは、それらの展開公式が、

　　sin(x)＝a0＋a1・x＋a2・x^2＋a3・x^3＋・・・　　　(1)

という終わりのない足し算になるからです。「・・・」は、「どこまでも」の意味です。あなたがExcelや関数電卓やPCで目にする、SIN（2.3）の値とは、(1)の足し算を途中で（有限個の足し算で）打ち切った、近似値なのです。今は、計算機の自動化が進んでいるので、当然のようにSIN（2.3）の値を計算できるように見えますが、本当はそうではありません。

　昔は三角関数表というのがありました。まさに0～90°を100分割くらいして、0.01°ごとに(1)の値を、10数項足し上げて筆算で計算して表にしたものが、sinやcosを実務で使う測量技術者の聖典でした。

　数学にも、このような事情を反映した用語があります。x^nやx^n／(x＋a)などは、たんに初等関数と言われます。たぶん四則演算（筆算）だけで、完璧に計算できるという意味だと思います（頑張れば）。それに対して、sin(x)，cos(x)，a^x，log(x)は、初等「超越」関数と言われます。「超越」とは、頑張っても筆算だけでは厳密値は無理、という意味でしょう。

　超越なのに（筆算では厳密値は不可能なのに）、どこが初等なの？という話は当然と思いますが、しょせんは慣れです。三角関数は、エジプトの昔から利用されていて、テイラー級数なんか知らなかった当時の測量技術者達は、でっかい紙にでっかい円を描いて、定規で測ってsinの値を決めてたのだと想像できます。じつは同じ事を、でっかいコンパスでやり（何故か持ってた）、関数電卓もPCもExcelもない状況で、三角関数表をコンベックスで作った経験があります（後処理が大変でしたが・・・）。


　長くなりましたが、

＞なぜ0.7457・・・となるのでしょうか？こういうものだと思えばそれでいいのですが・・・

　以上の経緯より、「こういうものだと思えばそれで」良いのです。指数関数a^xと対数関数log(x)で、それを体現するのが、「計算尺」です。

　ご存知ですか？・・・^^。

この回答へのお礼

なるほど。なるほど。
SIN（高さ）とは単位円あたりのことです。説明が不十分でした。
実は私、高校時代あまり数学に興味を持てず最近になって、三角関数のいろいろを勉強させてもらってます。
そこでS単位円あたりのIN（ラジアン）により、ｙ値が求められることを知り、ふと思ったのです。
あれ？SINってそもそも直角三角形における高さ/斜辺、（正弦/正接）だけど、ラジアンから単位円あたりのSIN（高さ）ってどうやってコンピューターは計算しているのだろう？
コンピュータのない時代は、どうやって一覧表みたいなものを作ったのだろうって思ったのがこの質問の始まりでした。
ご回答ありがとうございました。
どうやらこの疑問はさらにもう少し勉強する必要があるみたいです。もうすこし考えて見ます。

お礼日時：2011/04/27 16:23

No.7 回答者： hugen 回答日時： 2011/04/28 01:21

http://www.nipec.nein.ed.jp/sc/risuu/h19suugaku/ …

No.6 回答者： hugen 回答日時： 2011/04/28 01:09

2.3/3/3/3/3/3/3/3/3=2.3/3^8=0.00035055・・・

sin(0.00035055・・・)=0.00035055　として
sin3θ＝3sinθ-4(sinθ)^3　　　を８回繰り返すと
sin2.3=0.7457・・・

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/26 18:17

角度から弧度(ラジアン)を求められるのなら、

弧度から角度を求めることもできますね？
それと、角度から sin が決まることが解るのなら、
弧度から sin が決まることが、実は解っている
ということではないでしょうか。
どこに疑問が？

No.3 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/04/26 13:41

質問文を読み返してみたら、変な記述がありますね。

ラジアンというのも角度の表し方の一つです。
そして、sinの引数は角度だけです。
sin45°とかsin(π/2)とか。
sinの引数として、長さ(高さ)は使えません。
sin(高さ)って、何のことでしょうか？

sinとは何なのか、理解していますか？

No.2 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/04/26 13:37

計算式も何も、そういうものです。

sin2.3≒0.7457
です。

sin(π/4)＝√2/2≒0.707
というのは解りますか？
π/4≒0.785　なので、
sin0.785≒√2/2≒0.707
と書くこともできます。
それと同じです。

No.1 回答者： chie65535 回答日時： 2011/04/26 13:24

＞角度からラジアンの求めかたは理解できる

理解出来ているのは「角度の単位を、度からラジアンに変換する方法」だけ。

角度の単位は

・円周を３６０等分したものを１度、１度を６０等分したものを分、分を６０等分したものを秒とする単位（度数法）

・２πを円周とする単位（ラジアン）

・直角を１００等分したものを１グラードとする単位（グラード）

・円周を６４００等分したものを１ミルとする単位（ミル）

などがあります。

で、EXCELなどでは「角度はラジアンで与える」と言う決まりになっているだけ。

2.3ラジアンは、131.7803度（131度46分49秒）です。

なので、

正弦131.7803度＝SIN(2.3)＝0.7457...

になります。

正弦131.7803度が0.7457...になる理由は、

「斜辺の長さが１で、底辺と斜辺で挟まれた角の角度が131.7803度の直角三角形では、高さが0.7457...になる」

からです。言い換えれば、

「斜辺の長さが１で、底辺と斜辺で挟まれた角の角度が2.3ラジアンの直角三角形では、高さが0.7457...になる」

になります。

普段、一般の日本人は、角度は「度（度数法）」で表します。長さは「メートル法」で表します。

「角度を度で表さず、ラジアンで表す」のは、言わば「長さをメートルで表さず、フィートとインチで表す」ような物です。

単位を変えただけであり、角度、長さの「本質」は何も変わりません。

「角度からラジアンの求めかたを理解した」ってのは、長さで言えば「メートルから、フォート・インチの求めかたを理解した」ってだけの事で、SIN(2.3)が意味する事、その値の0.7457...については、何も理解できていません。

ご自分が、ラジアンについて、三角関数について、何も理解してないと言う事が判りましたか？