No.2ベストアンサー
- 回答日時:
v(1),v(2),…,v(n) が線型独立、かつ、
v(1),v(2),…,v(n+1) が線型従属であるための
必要十分条件は、
v(n+1) = a(1)v(1) + a(2)v(2) + … + a(n)v(n)
となるスカラー a(1),a(2),…,a(n) が在ることです。
まづ、必要性を示しましょう。
v(1),v(2),…,v(n+1) が一次従属であることより、
c(1)v(1) + c(2)v(2) + … + c(n+1)v(n+1) = 0
となるスカラー c(1),c(2),…,c(n+1) が在りますが、
このとき c(n+1) = 0 だとすると、
c(1)v(1) + c(2)v(2) + … + c(n)v(n) = 0 より
v(1),v(2),…,v(n) が一次従属となり、仮定に反します。
したがって、c(n+1) ≠ 0 です。
a(k) = -c(k)/c(n+1) と置けば完了です。
十分性を確認するのは、簡単と思います。
もともと、線型独立/従属の定義は、
上記の考察に馴染むことを目的に
決められているのです。
あとは、具体的に線型空間 V の例を挙げて、
上記の条件を満たすような
v(1),v(2),…,v(n+1) を作ってみればよいですね。
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