x,y は実数で,x^3+6xy+8y^3=1 のとき,x^2+y^2+2y の最小値と,そのときの x,y の値を求めよ.
(アイデア1)
x^3+6xy+8y^3=1をパラメータ表示しようと思ったのですが・・・。
(アイデア2)
x^3+6xy+8y^3=1 図示し、x^2+y^2+2y=kと置き、x^2+(y+1)^2=k+1と共有点を持つ条件を幾何学的に考えようと思ったのですが・・・。
(アイデア3)
x^3+6xy+8y^3=1 と x^2+y^2+2y=k からxもしくはyを消去し、解を持つための条件を代数的に考えようと思ったのですが・・・。
(アイデア4)
ラグランジュの未定乗数法で、
f(x,y,λ)=x^2+y^2+2y+λ(x^3+6xy+8y^3-1)
とおき、
∂f/∂x=2x+λ(3x^2+6y)=0,
∂f/∂y=2y+2+λ(6xy+24y^2)=0
∂f/∂λ=x^3+6xy+8y^3-1=0
を連立して解こうと思ったのですが・・・。
いずれも計算がストップしてしまいました。
計算の続きができるでしょうか?
別のアイデアはあるのでしょうか?
一般の3次曲線の束縛条件が与えられたとき、一般の2次式の最小値(最大値)を与える明示式はあるのでしょうか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
(x+2y)^3-3(x+2y-1)x(2y)=1
x+2y=s, 2xy=t
s^3-3(s-1)t=1
t=(s^3-1)/3(s-1)
t=1/3(s^2+s+1)
u^2-su+t=0の解は
u=1/2{s±√(s^2-4/3(s^2+s+1))}
=1/2{s±√1/3(-s^2-4s-4)
=1/2{s±(s+2)√1/3i}
s=-2のときのみ実解でこのときu=ー1=x=2yでx=-1,y=-1/2
よってx^2+y^2+2y=1/4
これでどうでしょうか?
No.3
- 回答日時:
x=kcost, y=k(sint-1)として
k^3cos^3t+6k^2cost(sint-1)+8k^3(sint-1)^3=1
(cos^3t+8(sint-1)^3)k^3+6k^2cost(sint-1)-1=0
s=1/kとして
s^3-6scost(sint-1)+cos^3t+8(sint-1)^3=0
カルダノの公式で解が出てその根をtで微分する
この方法はこれ以上は計算する気が起きないです
できないですかね?
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