Ωを任意の集合とし,Ωの部分集合の族でσ-集合体になっているものをA,Bとする.
このとき、A∪Bは必ずしもσ-加法族にならないことを反例をもって示せ.
(ヒント:Ω={1,2,3,4,5}として考えてみよ.)
という問題が出ました。
例えば
A={{1},{2,3,4,5},Ω,φ}
B={{2,3},{1,4,5},Ω,φ} とすると
A∪B={{1},{2,3,4,5},{2,3},{1,4,5},Ω,φ}となります。
これはσ-集合体の条件である
(1)E∈F ⇒ E^c∈F
(2)Ei(i=1,2,...)∈F ⇒ ∪[i=1~∞]Ei∈F
という条件を満たすので判例とはなりません。
色々ためしてみたのですが判例とはなりえませんでした。どこか勘違いしているように思います。
ご教授いただけたら幸いです。よろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2)は「Fの任意の高々可算個の和はFの元である」という意味です。
EiはFのすべての元とは限りません。
無限個の集合和の場合でも、
E1={1}、E2=E3=E4=・・・・={2,3}
ということも考えられます。
No.1
- 回答日時:
示された例で言うと、
{1}∪{2,3}={1,2,3}はA∪Bに含まれていないのでσ-集合体ではありません。
この回答への補足
(2)Ei(i=1,2,...)∈F ⇒ ∪[i=1~∞]Ei∈F
この条件は全Eiの集合和がFの要素となっている、と解釈していました。
つまり例でいうA∪Bでは
∪[i=1~6](A∪B) = {1}∪{2,3,4,5}∪{2,3}∪{1,4,5}∪Ω∪φ = Ω
となり、Ω∈A∪BなのでA∪Bはσ-加法族であるという考えです。
この解釈自体が間違っていて、∪[i=1~∞]Ei∈Fが意味するのは
Eiの全組み合わせの和集合がFの要素となっている、
つまりE1~E4が存在するとき、
E1∪E2,E1∪E3,E1∪E4,E2∪E3,E2∪E4,E3∪E4,
E1∪E2∪E3,E1∪E2∪E4,E1∪E3∪E4,E2∪E3∪E4,
E1∪E2∪E3∪E4 ∈F ということでしょうか。
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