
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
この手の「基礎部分」の証明は
教科書の流儀によって
何が前提で何が結論かが変わります.
したがって,
「教科書を読みなさい」
としかいえません.
まあ,あっさり証明するなら
まさに「標準形」にすればいいというだけ.
任意のr行s列行列Aに対して,正則なr次正方行列P,s次正方行列Qが存在し,
さらに自然数nが存在し,
Eを(1,1),...,(n,n)成分が1で,残りの成分が0であるような
r行s列行列とした場合
E=PAQ
とできる
#これが基本変形による階数の定義で,
#また,任意の正則行列は基本変形行列の積であることも既知とする
このとき,
E^t = P^t A^t Q^t
だから,
A^tとAの階数が等しい.
決して定義から明らかな結果ではないので
それなりの積み重ねが必要.
この回答へのお礼
お礼日時:2011/05/30 00:00
ありがとうございます。よくわかりました。教科書には別な証明が載っていて、よくわからなかったのですが、こちらの証明は理解できました。しかし、何が既知の事実で、前提として使えるのかについては注意を払いたいと思います。
No.3
- 回答日時:
そのどちらも、値が 0 でない小行列式の最大次数と同じだから。
片方証明すれば、もう半分は「同様にして」で済みます。挑戦して下さい。
行ベクトルを成分表示して、一次独立の定義をあてはめれば、
ほぼ自明であることが見えてくるはずです。
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