3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ
なんですよね?
これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか?
例えば、
3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。
という問題で、
x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0
つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
>>>
つまり今回の問題では、a,b,c,dを求めた後、『a>0であるから条件は満たされる。』としていいのでしょうか?
f(0)=2、f(2)=-6を代入しているのだから、a≠0であることだけ言えればいいようにも思えるのですが、違うんですよね…
全然違います。
a>0 であることを前提として、a~dを求めることになります。
問題文が「x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき」と言っている時点で、
すでに、a>0 が確定します。
しかし、まあ、基本から言えば、a>0 を前提とせずに、fの2回微分を使って、
・f(0)が極大値であるためには、f’’(0)<0(fはx=0において上に凸)だから、f(0)は極大値、
・f(2)が極小値であるためには、f’’(2)>0(fはx=2において下に凸)だから、f(2)は極小値、
とするのが「真面目な解答の書き方なんでしょうね。
No.1
- 回答日時:
こんにちは。
>>>3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつなんですよね?
はい。
>>これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか?
なります。
>>>
例えば、
3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、
定数a,b,c,dの値を求めよ。
という問題で、
x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0
つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…
x=0とx=2を比較すると、グラフではx=0が左、x=2が右ですよね。
a>0のときは、x=0で極大値、x=2で極小値となります。
a<0のときは、x=0で極小値、x=2で極大値となります。
回答ありがとうございます。
つまり今回の問題では、a,b,c,dを求めた後、『a>0であるから条件は満たされる。』としていいのでしょうか?
f(0)=2、f(2)=-6を代入しているのだから、a≠0であることだけ言えればいいようにも思えるのですが、違うんですよね…
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