閉じた宇宙での光や重力の伝わり方について

Question

有限で果てのない宇宙を考えるときの疑問です。
よくあるように、宇宙を２次元球面として地球の表面に例えて考えます。

光や重力が距離の２乗に反比例して減少するのは、伝わる距離の２乗に比例してその伝わる球面の面積が増えていくことが理由だと理解しています。（２次元平面では球面ではなく、円周ですので距離に比例して減少）

北極点を源とする、光や重力は赤道上まで距離と共に徐々に減少していきますが、その先は逆に距離とともに増加していって、南極点では無限大になってしまうように思えます。
つまりこの２点が因果律をもつと、空は光であふれ、宇宙はぺちゃんこにつぶれてしまいます。

現在我々は宇宙のごく一部しか観測できていないようなので、もちろんこんなことにはなりませんが、膨張が減速する宇宙では充分に長い時間を考えると、いつか必ず、２点は因果律をもつはずです。

無限大や果てのある宇宙よりも、有限で果てのない宇宙のほうが感覚的に理解しやすいので、希望的観測として閉じた宇宙であって欲しいのですが、上記のことを考えるとわけがわからなくなります。

どこか考え方に間違いがあるのでしょうか。
解説できるかた、よろしくお願いいたします。

psytex · Accepted Answer

#3の者です。

＞距離が離れるほど明るくなるという部分が観測されるように思える

それは、光を放つ物体（恒星）が等密度で続いている場合です。

１．膨張速度＝ドップラー効果によるエネルギー減衰は、遠いほど大きい。

２．遠いほど空間が小さい＝存在する物体の量は少ない。

＞北極点を源とする、光や重力は赤道上まで距離と共に徐々に
＞減少していきますが、その先は逆に距離とともに増加していって、
＞南極点では無限大になってしまうように思えます

元が有限である作用が、収束すると無限大になるというのは、
感覚的な錯覚です。
収束しても元の力以上は持ちません。
途中の作用が加算されても、上記の通り、無限になりません。
１つ確認しておきますが、全周からどのような大きな引力が
働いても、「全周」である限り、何の力も働きません。

ibm_111 · Answer

うーん要するにこういうことですか？

http://homepage3.nifty.com/iromono/diary/200503B.html#17
円筒状の宇宙では電磁気のクーロンの法則が1/r^2からずれる

私はこの論文を読んでないのでなんとも言えませんが。

Kunfu · Answer

他の方が回答されているように、「オルバースのパラドックス」で答はでていると思います。

宇宙には光があふれるほど星がなく、実際に宇宙にある物質の１０兆倍なければ夜空が明るくなりません。

地球には南極や北極、赤道がありますが、宇宙にはそんな特別の場所はありません。
たとえば地球から１２０億光年離れた星から、地球と反対方向を見てもやっぱり１２０億光年先の星が見えるでしょう。
宇宙のどこに行っても観測できるのは、そこから半径４６５億光年の範囲です。
http://www.nao.ac.jp/study/uchuzu/rule.html

宇宙は誕生から一貫して光速より速く膨張してきました。
約５０億年前にはさらに膨張のスピードを速めています。
かつては、膨張から収縮に転ずるか、膨張のスピードがにぶると思われていましたが、今では宇宙は発散してしまうという見方が有力です。

将来的には、銀河が融合して巨大銀河になり、さらにブラックホールだらけの宇宙になります。
そのブラックホールも長い時間をかけてホーキング蒸発します。
長い時間とは１０の１００乗年です。われわれの宇宙の年齢が１．３７×１０の１０乗年ですから、その１０の９０乗倍。
超長時間かけてブラックホールは蒸発してゆき、最後は爆発します。

星のない宇宙にも星間物質はありますが、その物質も陽子崩壊して陽電子とニュートリノに分解し消滅します。
陽子の寿命は平均１０の３２乗年とされているので、ブラックホールが蒸発するころにはほとんど物質もなくなっているでしょう。

物質のなくなった宇宙は、たまにニュートリノや光子や電子などが飛び交う暗くて冷たく永遠に膨張する時空になると考えられています。（Newton 2008.8）

だたし、日本の神岡鉱山で陽子崩壊を捉える実験をやっていますが、まだ捉えられていません。
１０の３２乗年という理論値が正しいのかまだ結果がでていません。（「ホーキング、宇宙と人間を語る」）

ibm_111 · Answer

間違えました。

>そうすると膨張宇宙（スケールファクターが時間とともに増大）で、
>曲率正の宇宙か・・・

閉じている宇宙はいずれビッグクランチしてしまうので、
膨張宇宙とは言えないですね。

ibm_111 · Answer

なかなか面白そうな問題なので考えてみました。

手法
・「有限で果てのない宇宙」ということから、
背景時空はアインシュタインの静止宇宙、
つまり正の曲率と宇宙項ありのモデルを考える。
・そのとき、シュバルツシルト時空を求める手続きと同じ操作を行う。
・gμνを求めて、クリストッフェルシンボルを求め、
さらにテスト粒子の運動方程式を求める。

結果
計算している人がいました。
http://www.actaphys.uj.edu.pl/vol15/pdf/v15p0193.pdf

線素は（1）
式を見ると、r << r0でシュバルツシルト時空に接続することが分かります。

（9）式はテスト粒子の半径方向の運動方程式
補正項がいろいろついていて分かりにくいので、近似します。
2m（シュバルツシルト半径） << r << r0で、
加速度 = -m/r^2 + 2rk/r0^2
kは正のある定数らしいです。どう決まるのかは不明
したがって、ある半径以下では引力ですが、それ以上離れた地点では斥力になります。

解釈
ブラックホールに十分近い領域では宇宙の大域構造は効かないので、引力になります。
一方、十分遠い場合には、静止宇宙なので宇宙項の存在が効いてきて斥力になります。

ここまで回答を書いて気づきました。
静止宇宙を仮定とは書いてないですね。
そうすると膨張宇宙（スケールファクターが時間とともに増大）で、
曲率正の宇宙か・・・
まあせっかく書いたので、載せときます。

psytex · Answer

#2の者です。

＞その光は全天から届くことになり

届いてますよ。
その後退速度によるドップラー効果で、絶対温度2.7度にまで
間のびした輻射で、「全天」は輝いています。
（その波長をとらえられるアンテナのような目を持っていれば）

psytex · Answer

宇宙が四次元の三次元球面でなくても、宇宙がどこまでも
続いていれば、どの視線も必ず恒星に行き当たるので、
全天が恒星の表面のように輝くはず、という「オルバースの
パラドックス」というものがあります。
このパラドックスの結果として、宇宙の広がりは有限であるか、
膨張している（遠いほどドップラー効果でエネルギー低下する）
証拠であるとされました。

そのビッグバンにおいて、半径137億光年果ての球面は、
ビッグバン当初の点であり、そこから137億年膨張した“果て”
は、「ここ」の点です。
つまり、時空的に平坦に広がっていると思われがちですが、
137億光年×137億年の距離を隔てて、あちらで空間的に
収束し、こちらで時間的に収束し、ちょうど両端で一点に収束
した木の葉型を張り合わせて地球儀ができるように、三次元
の球面なのです。

tetsumyi · Answer

北極点を源とする光は有限のエネルギーですから南極点で無限大になりませんし、途中で障害物がありますから全てが集まることはありません。
また、宇宙は完全に平坦ではないので一点には集まりません。
当然ですが閉じているのですからエネルギーは何らかの形で宇宙内で保存されます。
しかし、赤道を越えると光が強くなるなんてことはあるかもしれませんし、そうだとすると現在の宇宙に関する計算はとんでもない間違いをしている可能性もあります。

閉じた宇宙での光や重力の伝わり方について

#3の者です。

うーん要するにこういうことですか？

他の方が回答されているように、「オルバースのパラドックス」で答はでていると思います。

間違えました。

なかなか面白そうな問題なので考えてみました。

#2の者です。

この回答への補足

宇宙が四次元の三次元球面でなくても、宇宙がどこまでも

北極点を源とする光は有限のエネルギーですから南極点で無限大になりませんし、途中で障害物がありますから全てが集まることはありません。

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