線形代数の問題です。解き方を教えてください

1)点Ｐ（1,-2,3）から平面2x-y+3z-4=0におろした垂線の足をＨとするとき、点Ｈの座標とＰＨの長さを求めよ。

2)平行２平面 π1: 2x-y+3z-4=0 π2: 2x-y+3z+7=0 の間の距離を求めよ。

No.3 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/06/08 07:51

1)代数・幾何で扱われていました。

点と平面の距離
　d=|ax[1]+by[1]+cz[1]+d|/√(a²+b²+c²)を用いて
　PH=|2・1-1・(-2)+3・3-4|/√{1²+(-2)²+3²}=9/√14
　点Hの座標は分かりません。
2)分かりません。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/08 01:48

解き方

1)
平面：2x-y+3z-4=0　…(A)
Pを通り平面に垂直な直線の方程式は
(x-1)/2=(y+2)/(-1)=(z-3)/3 …(B)

(A),(B)を連立にして解けばH(xh,yh,zh)の座標が求まります。
求まったH(xh,yh,zh)を使ってPHを求めれば良い。
PH=√{(xh-1)^2+(yh+2)^2+(zh-3)^2} …(C)

2)
π2: 2x-y+3z+7=0 …(D)
π1上の適当な点Q(0,-1,1)を通るπ2に垂直な直線の方程式は
x/2=(y+1)/(-1)=(z-1)/3 …(E)
(D),(E)の交点の座標R(xr,yr,zr)は(D),(E)を連立して解けば求まります。
求めたRの座標を使って
π1とπ2間の距離QR=√{xr^2+(yr+1)^2+(zr-1)^2}
を計算すれば良い。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/06/08 00:10

（１）点と平面の距離の公式を使えばＰＨの長さが判ります。

また、ベクトルＨＰは平面２ｘ－ｙ＋３ｚ－４＝０の法線ベクトル（２、－１、３）を何倍かしたもので、その絶対値がＰＨの長さに等しいことを用いれば点Ｈの座標が判ります。

（２）π１上の点を適当に決め（例えば（１，１，１））、この点とπ２の距離を上記同様に計算すればいいと思います。

http://yosshy.sansu.org/distance1.htm
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansu …