富士通と京大、数式処理の世界記録を達成

2011年6月27日、
富士通と京大、数式処理の世界記録を達成……「16次方程式」の判別式計算に成功
というニュースを聞きました。そこで、

16次方程式の判別式は、37億9869万7446個の項からなり、その大きさは88ギガバイトにおよぶ非常に大きな式となる（15次方程式の判別式は、6億6331万6190個の項からなり、大きさは14ギガバイト）。

と書いてあり、16次方程式の判別式の項数をどうやって計算するのか気になりました。簡単のために、3次方程式で考えます。

ax^3+bx^2+cx+d=0の解をα、β、γとすると、
判別式D=a^2（α－β)^2（β－γ）^2（γ－α）^2
=b^2c^2-4b^3d-4ac^3+18abcd-27a^2d^2
となり、項数は5。

最高次の係数で割り、モニックな多項式を考え、
x^3+a[1]x^2+a[2]x+a[3]=0の解をα、β、γとすると、
a[1]=-α-…
a[2]=αβ+…
a[3]=-αβγ
ここで、a[1]は1次、a[2]は2次、a[3]は3次であることに注意。

判別式D=（α－β)^2（β－γ）^2（γ－α）^2
=α^4β^2+…

つまり、判別式は6次。判別式は対称式なので、基本対称式で表されるので、
D=○a[3]a[3]+○a[3]a[2]a[1]+○a[3]a[1]a[1]a[1]+○a[2]a[2]a[2]+○a[2]a[2]a[1]a[1]+○a[2]a[1]a[1]a[1]a[1]+○a[1]a[1]a[1]a[1]a[1]a[1]

上の式の○は適当な係数を意味していて、また、1と2と3のみを使った6の分割
6=3+3
=3+2+1　
=3+1+1+1
=2+2+2　
=2+2+1+1　
=2+1+1+1+1　
=1+1+1+1+1+1　
を利用しています。さらに、上の7つの項をα、β、γで表し、代表的な項を書くと、

D=○(α^2β^2γ^2)+○(α^3β^2γ+…)+○(α^4β^2+…)+○(α^3β^3+…)+○(α^4β^2+…)+○(α＾5β+…)+○(α^6+…)

ところが判別式D=α^4β^2+…
だったので、後ろの2つ項の係数は0と分かる。最初の5つ項の係数はいくつかの数値を代入して連立方程式を解くことで求めることが出来るが、いずれも0でないとすると、結局3次方程式の判別式の項数は5。

そのようなやり方で16次方程式の判別式の項数を求められるかもしれませんが、項数が多くて書き出すのは不可能に近いです。もっと上手に計算で求める方法があればどうか教えてください。

No.2 回答者： noname#171582 回答日時： 2011/06/29 09:48

１７次方程式の判別式の項は何億項なのだろうか？

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/29 04:24

＞項数が多くて書き出すのは不可能に近いです。

だからこそ、スパコンが使われたのではないですか。
そこらへんのパソコンで解けるような問題なら、スパコンを使う必要はないと思うのですが。

そのニュースにも、
「16次方程式の判別式は既に数学的には解明済みだったものの、その莫大な項数を実際に計算することは、従来の計算技術やコンピューティング技術では不可能だった。」
とあります。

解法のアルゴリズムも、
「木村准教授が新開発した計算アルゴリズムは、「多項式補間法」に基づく新しいアルゴリズム。」
だそうです。

この回答への補足

僕が記事を読んだとき、
16次方程式の「項数」に限ってはすでにわかっていたけど、それらの係数を実際に求めるのに、従来の計算技術やコンピューティング技術では不可能、
と解釈しました。

補足日時：2011/06/29 10:23