大学受験で四次方程式の解と係数の関係は使える？

はじめまして。

大学入試では答えだけではなく数学は考え方を記述させ、それを採点しますよね。
２次方程式、３次方程式の解と係数の関係は教科書にも載っているので、それを考え方として示しても問題は無いと思うのですが・・・
最近４次方程式にも解と係数の関係があることを知りました。
これがあれば問題などを楽に解くことができるとおもうのですが、これは入試の際の考え方として記載してもいいのでしょうか？
それとも大学入試では使えず、あくまで検算として使用するに留めたほうがいいのでしょうか？

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2011/01/25 10:16

記述式なら回答の中で証明してしまえば良いでしょう。

解と係数の関係は例えば
x^2+ax+b=(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ
から
a=-(α+β)
b=αβ
のように恒等式の係数比較で求められます。4次でも同様です。
これだと高校レベルで、大学入試でも使えると思います。

この回答への補足

言葉が足りなく、申し訳ございません。

４次方程式を提示した上で、「ここで、解と係数の関係から」
という但し書きだけで使用することができるのかということです。

受験では１分１秒も大事だと聞いているので、その証明の時間を「ここで、解と係数の関係から」という但し書きだけで補えるのだろうかという疑問でした。

補足日時：2011/01/25 10:21

No.2 回答者： ID10T5 回答日時： 2011/01/25 11:04

出題者は4次方程式の解と係数の関係を問うているわけではないのでしょう？

どうしてそういう答えが出たのかを説明する必要があるときに、「4次方程式の解と係数の関係から」などと説明して意味があると思いますか？

ボクはないと思いますね。過程の説明が不十分な答案として採点としてはかなり低くなると思います。

No.3 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/01/25 11:34

こんにちわ。

わたしは「用いない方が無難」だと思います。
#1さんが書かれているように、恒等式の係数比較として論じる方が素直です。

1分1秒が大事なのはわかります。
しかし、そのために「論理展開がお粗末」になってしまうと本末転倒です。

たとえば、
---------------------------------------------------------
4次方程式の解をα,β,γ,δとすると、左辺は
ax^4+ bx^3+ cx^2+ dx+ e＝ a(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)

と表すことができる。係数比較より・・・
---------------------------------------------------------
と記述すれば十分伝わるとは思います。
（事実上、解と係数の関係を用いている）

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/01/25 11:54

4次方程式の解と係数そのものを示せ、という問題でない限り、「4次方程式の解と係数より」と書いとけば事が足りる。

ロピタルを使うわけじゃない、その程度は許容範囲と考えて良い。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/01/25 12:34

補足しておく。

大学入試の採点者は、その道のプロ。
何が大事で、何が枝葉かは、当然解ってる。
論理さえ正しければ計算違いをしても高得点を望めるが、例え答えが合ってても論理が間違いなら0点になる。

証明なしに4次方程式の解と係数を使う使わないという事は、問題の本質ではない。
先ほど書いたとおり、「4次方程式の解と係数より」と書い解けば良い。

高校数学を超えているロピタルやパツプス・ギュルダンを使うわけではない。
つまらない事を気にせず、先ず正しい論理で問題が解けることに全力を尽くしたら良い。
仮に、減点されてもほんのわずかの点数だろう。。。。。減点されないと思うが。