3次元球面のリッチスカラー曲率についての疑問です。
よく知られたように、2次元球面(半径r)のガウス曲率はK=1/r^2 で、
リッチスカラー曲率はR=2/r^2 です。両者にはR=2Kの関係があります。
本やwikipediaなどによると、
一般的に、半径rのn次元球面のリッチスカラー曲率はR=n(n-1)/r^2
となるようです。(ガウス曲率との関係は R=n(n-1)K です)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB% …
そうすると、3次元球面のリッチスカラー曲率は R=6/r^2 になります。
(閉じたロバートソン・ウォーカー時空の、空間部分にあたるものです)
ここで疑問なのですが、なぜ3次元の曲がりなのに、
r^2のような2次元の曲がりの量を用いて表現可能なのでしょうか?
2次元の曲率が1/r^2 に関係する量になることは、
ガウス曲率の定義(1次元の曲率 1/r の2方向の曲がりの積を取る)
などからも素直に理解できます。
3次元で素直に考えると、3次元のガウス曲率は3方向の曲がりの積を取り、
1/r^3のように表現され、リッチスカラー曲率もr^3の逆数に比例する量で
表されそうな気がしてしまいます。
「空間の曲がり」が「曲面の曲がり」で表現できてしまう事が
どうもよく分からずにいます。どうぞよろしくお願い致します。
A 回答 (2件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.1
- 回答日時:
なかなか面白い疑問ですね。
このへんはあまり詳しくないので、
以下では、wikiの記述を全面的に信用することにします。
まず、おそらくあまり関係がないところから。
>(ガウス曲率との関係は R=n(n-1)K です)
ガウス曲率って3次元空間内の2次元曲面にしか
定義できないんじゃなかったでしたっけ?
これについては、まったく自信がないので、流してくれて結構です。
>ここで疑問なのですが、なぜ3次元の曲がりなのに、
>r^2のような2次元の曲がりの量を用いて表現可能なのでしょうか?
たぶんこちらが、疑問の核心だと思います。
wiki「スカラー曲率」の記事の、項目「直接的な幾何学表現」中、
「多様体のユークリッド空間に対する半径εの球のn次元体積の比」の式を見ると、
右辺第二項はSε^2で、これは無次元(単位がない)でないといけません。
εは長さの次元を持つので、Sは(長さ)^-2の次元を持つ必要があります。
要するに、「n次元体積の比」を半径εで展開すると
second orderが2次の項から出てくる都合上、
Sが次元を持つのは仕方がないといったところでしょうか?
ご回答ありがとうございます。
>ガウス曲率って3次元空間内の2次元曲面にしか
>定義できないんじゃなかったでしたっけ?
様々な微分幾何の本にあたりましたが、
確かにn≧3での定義は見当たりませんでした。
>second orderが2次の項から出てくる都合上、
>Sが次元を持つのは仕方がないといったところでしょうか
はい、そういった要請上、 1/r^(-2) が出てくる事自体は分かります。
リッチスカラー曲率の定義から計算上そうなる事もよく分かるのですが、
なぜ1/r^(-2) に比例する量で曲率が表せてしまうのか
やはりどうも釈然としない感じです。
(計算結果で納得できるような類の疑問ではないのかもしれません)
もう少し考えてみます。
No.2
- 回答日時:
そうすると、私なりにこの疑問を書き換えると、
以下のようになります。
「n次元体積の比」の式で、second orderが2次になるのはなぜか?
(別にn次になってもいいじゃん??)
こうなると、「n次元体積の比」の式の導出を知る必要があります。
しかしながら、ネット上で気軽にさがそうとして失敗しました。
遡っていくと、
時空の曲率がリーマン曲率テンソル、つまり、
平行移動した2つのベクトルの差で表されるのはなぜか?
さらに、
計量がg_μνdx^μdx^νのように2次形式で書けるのはなぜか?
というところに落ち着きそうな気がしますが、根拠はありません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 どうして、スピードを出しても3次元にいられるのですか。 3 2023/05/30 21:12
- 数学 微分幾何の問題です。1問でもわかる方教えて頂きたいです。 問1 第1基本量、第2基本量が E=G=1 2 2023/02/04 13:48
- 物理学 どうして、三次元にいられるのですか。 4 2023/02/10 20:58
- 数学 「平坦」というのはどういうことですか。 3 2023/02/06 15:47
- 物理学 ファンデルワールス状態方程式の臨界時の状態量を求める際、臨界体積VrはVの3次関数の極値でもあり変曲 1 2023/03/25 17:51
- 物理学 相対性理論と円運動について。 1 2023/01/30 11:39
- 数学 『代数幾何についての疑問』 2 2023/05/08 17:44
- 数学 次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は,a を中心とする半径 r の円に正 1 2022/07/12 14:02
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 数学 次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は,a を中心とする半径 r の円に正 2 2022/07/12 14:04
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1000mlって何グラムですか?
-
モル分率と体積パーセントとppm
-
1ミリリットルは1グラムですか?
-
ml(ミリリットル) g(グラム) c...
-
水の温度と体積の関係式につい...
-
水の中に物質を入れて、その物...
-
砂の比重
-
水1リットルは何キロ?
-
肥料で、キログラム表示とリッ...
-
ペットボトルにつめれて、一番...
-
気中重量と水中重量
-
単位体積重量と密度の違い
-
燃焼に必要な空気量
-
比重の計算方法
-
風船の浮力について教えてください
-
0.4MPa、口径6mmノズルからのエ...
-
浮力=比重×体積×重力加速度で...
-
等温不可逆変化における仕事量
-
エタノールと水の混合液の粘度...
-
熱・統計力学 等積変化後の温度
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報