大学数学・解析の問題です。

次の式が成立することを示せという問題です。
ただし、a,x,y∈R,i=√(-1),|x+iy|^2=x^2+y^2である。
(1)|cos(x+iy)|^2=cosx^2+sinhy^2
(2)i^x=e^(ixπ/2)
(3)log(x+iy)=(1/2)log(x^2+y^2)+itan(y/x)^(-1)

この3問について解き方を教えてください。
これ以外に、
cos(x+iy)=cosxcoshy-isinxsinhy
a^x=e^(xloga)
という問題がありましたが、これは解決済みです。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/07/13 10:18

(1)

>cos(x+iy)=cosxcoshy-isinxsinhy
と
>|x+iy|^2=x^2+y^2
から
左辺=|cosxcoshy-isinxsinhy|^2=(cosxcoshy)^2+(sinxsinhy)^2
=cosx^2*(1+sinhy^2) +(1-cosx^2)sinhy^2
=右辺

(2)
>a^x=e^(xloga)
と
e^(iπ/2)=i
を利用して
左辺=e^(xlog(i))=e^(xlog(e^(iπ/2)))=e^(x*iπ/2))=右辺

(3)
x+iy=|x+iy|e^(itan(y/x)^(-1))
なので
>|x+iy|^2=x^2+y^2
を使えば
x+iy=(x^2+y^2)^(1/2)*e^(itan(y/x)^(-1))
両辺の対数をとれば
log(x+iy)=(1/2)log(x^2+y^2)+itan(y/x)^(-1)
∴左辺=右辺

No.1 回答者： IveQA 回答日時： 2011/07/12 22:35

(1)cos(x)^2+sin(x)^2=1, {cosh(x)^2-sinh(x)^2=1

(2)i=exp(iπ/2)
(3)x+iy=r・exp(iθ)

この回答への補足

回答ありがとうございます。

左辺から右辺を証明するという意図で出題されているようなのですがどうしたら良いでしょうか？
a^x=e^(xloga)ではlog(a^x)=xlogaからa^x=e^(xloga)のように示しました。

補足日時：2011/07/12 22:58