はじめまして、lunarwindと申します。
実は解答が無く、困っています。
教えていただけないでしょうか?


次の関数を微分せよ。

      x-1
f(x)=――――――――――
    x2乗 × sinx


宜しくお願いしますm(_ _)m

A 回答 (7件)

まず, 抑えておいてほしい基本は次の公式です。


(u(x)v(x))' =u(x)'v(x)+u(x)v(x)'
f(x)'はf(x)の微分という意味です。
で, 上の式を見てみましょう。
f(x)=(x-1)/x^2sin(x)
ですね。x^2は"xの2乗"です。
u(x)=x-1, v(x)=x^2sin(x)
とおいて,
f(x)=u(x)/v(x)
を微分します。
f'(x) = (u(x)/v(x))' = u(x)'/v(x) + u(x)(1/v(x))'
= u(x)'/v(x) - u(x)v(x)'/v(x)^2
= (x-1)'/x^2sin(x) - (x-1)v(x)'/x^4sin(x)^2
= 1/x^2sin(x) - (x-1)v(x)'/x^4sin(x)^2
ここで, v(x)'を考えます。
v(x)' = (x^2sin(x))' = (x^2)'sin(x) + x^2(sin(x))'
= 2xsin(x) + x^2cos(x)
ですね。これを上の式に代入します。
f'(x) = 1/x^2sin(x) - (x-1)(2xsin(x)+x^2cos(x))/x^4sin(x)^2
となります。あとはこれを展開していくと,
f(x)' = (-xsin(x)-x^2cosx+2sin(x)+xcos(x))/x^3sin(x)^2
となるはずです。
残念ながら, e3563様の商の微分の公式は間違っておられる
(正しくは(分母微分*分子-分母*分子微分)/分母2乗)ので,
正しい公式を一番最初に述べた公式を用いて導くことと, 途中省いた展開を宿題にして終わりにしたいと思います。
勉強頑張ってください。
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何度もすみません。


>full3002様&皆様へ
funi2様の回答は当ってます。
最後の「正しくは…」が見間違いか何かで書き違えてるだけですね。
丁寧な回答、お疲れ様でした。>funi2様
お騒がせしました。m(__)m>皆様
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訂正:分母のsinの2乗が抜けてました。

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あの、すみません、余計なことかもしれないんですけど。


商の微分公式はe3563さんが正解だと思います。
funi2さんの回答の最初の、積の微分公式から導いていくと、

f/g = f*(1/g)

= f'*(1/g) + f*(1/g)'

= f'*g*(1/g~2) + f*(-1/g~2)

    f'*g - f*g'
= ----------------------------
    g~2

となると思います。
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>funi2様


あれ?違ってましたか…?。
>f'(x) = (u(x)/v(x))' = u(x)'/v(x) + u(x)(1/v(x))'
>= u(x)'/v(x) - u(x)v(x)'/v(x)^2
通分して
f'(x)={u(x)'v(x)-u(x)v(x)'}/v(x)^2
であってると思われますが。
ちなみに、私の答えも
df/dx={(2-x)sin(x)+x(1-x)cos(x)}/{x^3sin(x)}

で、みなさんの答えと一致しました…。
う~ん。
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e3563さんの言うとおりだと思います。


微分の公式にしたがって解いてみたので、参考にしてみてください。

     sinx*(2-x)+x*cosx*(1-x)
f'(x)=------------------------------
     x~3*(sinx)~2

合っているか自信はないんですけど…計算ミスしていなければ多分合ってると思いますです。
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商の微分の公式で出来るのでは…?



df/dx = (分子微分*分母―分子*分母微分)/(分母2乗)

でしたか?
積の微分も入るので少しメンドイと思いますが、解く事に意義があるのかな?
がんばって下さい。(違ってたらゴメンナサイ)
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さて、
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[0→x]という範囲で定積分すると、
∫[0→x](d/dt)f(t)e^tdt=[g(t)]0→x
=[f(t)e^t]0→x
=f(x)e^x-f(0)e^0
でよろしいでしょうか。

>PS.このf(x)+∫[0~x]f(t)dt=sinx
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一般に、
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かなり、ハイレベルかなあという気がしました。

ONEONEさんの問題は、いつもかなり水準高いですね。
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ご参考になればうれしいです。

#2です。

>(d/dt)f(x)e^xの積分がf(x)e^x-f(0)e^0になるのがいまいちよくわかってません。

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