円運動で質問です

等速円運動でない時は円の接線方向に加速度が働きますが、向心加速度aは(v^2)/rで円の中心方向を向くから運動方程式でmaを(mv^2)/rと書き換えられますけど

この書き換えられる場合は接線方向と円の中心方向が垂直になる時だけですよね？
つまり質量mのおもりを長さrの糸に取り付けた場合におもりが
最下端、最上端、最右端、最左端の時だけですよね？

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/08/21 19:08

そんなことはありませんよ。

円運動をしている限りは，どこでも使ってよいのです。
たとえば，振り子の場合，糸の張力を含む（半径方向の）運動方程式を立て，
N = 0
となるときの角度を求めると，与えられた初速度において糸がたるむ角度を求めたりすることができます。最上端でN > 0 であれば，糸はどこでもたるむことなくぐるっと回ることになりますね？

この回答への補足

すいません　
よく考えるとどこでも接線方向と円の中心方向に加速度が働くならどこでも加速度はそれぞれ垂直ですね

ということはやはりどこでも成り立つのですね

補足日時：2011/08/21 20:44

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

等速円運動でなくてもどこでも使っていいんですか？

たとえば円の中心方向に(v＾2/r)の加速度がかかっていて、接線方向にβの加速度が掛かっている場合は加速度の向きがそれぞれ垂直でなければ接線方向のβの加速度を円の中心方向に分解できるから

円の中心方向で運動方程式を立てる場合m(v＾2/r)=…のように式を立てられないと思ったのですが

お礼日時：2011/08/21 20:41

No.2 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/08/21 21:38

円運動をしているときは速度の向きである接線方向を徐々に変えているので

向きを変えるための加速度があり、その計算式は
V=(vcosθ,vsinθ)として（Vはベクトルとしてvと区別します）
加速度はdV/dt=dv/dt(cosθ,sinθ)+vdθ/dt(-sinθ,cosθ)とかけ
等速のときにはdv/dt=0,dθ/dt=ω0となって
=vω(-sinθ,cosθ)
v=rωなので
=rω^2(-sinθ,cosθ)=v^2/r(-sinθ,cosθ)
となり
a=|dV/dt|=rω^2=v^2/rです

等速でないが、円運動は維持されるとき
v=rdθ/dtは成り立ちますのでその時の加速度は
dV/dt=rd^2θ/dt^2(cosθ,sinθ)+r(dθ/dt)^2(-sinθ+cosθ)
になります
後ろの項がrω^2ですので
成り立つのはd^2θ/dt^2がたまたま０になるときだけです

この回答へのお礼

回答ありがとうございます　丁寧にどうもです

お礼日時：2011/08/21 22:31