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集積点の集合(導集合)の問題
固有名詞を出して恐縮ですが、「微分積分学 I、II」(三村征雄、岩波全書)で集積点の所を勉強しています。
同書(I、p74)に於ける集積点の定義は次の通りです。
Aを距離空間Xの部分集合とするとき、1点pの任意のε-近傍V(p、ε)が少なくとも1つpと異なるAの点を含むならば、すなわち、pからεより近いところにpと異なるAの点が存在するならば,pはAの集積点であるといい、Aの集積点全体の集合をA^aで表す。A^aはAの導集合と呼ばれる。
この定義のあとにいくつかの例題があります。
(1) A={1/n},n∈N とすれば、A^a={0}、すなわちこの場合、集積点は0ただ1点である。
(2) R(実数)において、
i)Iを閉区間[a,b] とすれば、I^a=I (skylark 注:この行の二つのaは互いに無関係です)
ii)Iを開区間(a,b)とすれば、I^a=[a,b]
「これらのことは図によって容易に確かめることができる」書いてあります。実際、図をかいてみるとすぐ分かることなのですが、式でも確かめてみようとしました。
ところが、これがなかなかの苦戦。上の定義から2~3行で証明できると高をくくっていたのですが、うまくいきません。自分が発見できないだけなのでしょうが。簡単に証明する方法がありましたら教えてください。よろしくお願いいたします。
ちなみに、私の解答は次の通りです。
(1) の解答
p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
(1) p=0 のとき
もしε>1ならば、近傍V(0,ε)はAの元をすべて含むので、ε≦1と考えてよい。逆数をとって
1/ε≧1となる。このとき 1/ε<No となるような或る自然数Noが存在するので ε>1/No
d(0,1/No)=1/No<εすなわち1/No∈V(0,ε) ∴p=0はAの集積点。
あとは、
p<0, 0<p<1、1≦pで場合分けをする
(1) p<0 のとき
d(p,0)=-p>ε>0 であるεをとり、近傍V(p,ε)を考える。
p-ε<p<p+ε<0 となるのでどのようなAの元もV(p,ε)に属さない。よって p<0 はAの集積点ではない。
(2) 0<p<1 のとき
1/p>1だから∃Noがあって No≦1/p<No+1 ゆえに1/(No+1)<p≦1/No そこでmin(d(p,1/No),d(p,1/(No+1))=εoとし
εo>ε>0なるεをとると、V(p,ε) はAの元を含まない。よって 0<p<1 はAの集積点ではない
(3) 1≦pの場合 (1)とほぼ同様にしてできる。
(2) も(1) と同様の考え方でできる。
ここまで書いてくると、木を見て森を見ず の感が強いのですが、もっとよい手法がありましたらよろしくお願い申し上げます。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
pが集積点でないことを示すには、
∃ε>0,∃n0≦∀n,A∩V(p,ε)=φ
を言わないといけません。
> p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
> (1) p=0 のとき
この書き方だと、pが0でない場合についてもεは任意ということになっておかしいです。εの任意性が有効なのに後段で同じ文字εを別の意味につかってるのはよくないです。
> p<0 のとき
の場合を考えるのはいいとして、
> 0<p<1 のとき
> 1≦pの場合
という場合わけをする必要はありません。
p>0のとき、たとえば0<x<pとなる有理数xを一つとると、x=j/kとなる自然数j,kがあるから、ε=p-(1/k)(>0)とおけば、k以上のすべての自然数nについて1/nはpのε近傍に含まれません。
この回答への補足
ご回答、ありがとうございました。
qyueen997さんwrote:
> pが集積点でないことを示すには、
> ∃ε>0,∃n0≦∀n,A∩V(p,ε)=φ
>を言わないといけません。
> p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
> (1) p=0 のとき
>書き方だと、pが0でない場合についてもεは任意ということになっておかしいです。
> εの任意性が有効なのに後段で同じ文字εを別の意味につかってるのはよくないです。
ご指摘の通りです。はじめは∀ε がいつの間にか∃εになっているのに気がつきませんでした。
> p<0 のとき
>の場合を考えるのはいいとして、
> 0<p<1 のとき
> 1≦pの場合
>という場合わけをする必要はありません。
> p>0のとき、たとえば0<x<pとなる有理数xを一つとると、x=j/kとなる自然数j,kがあるから、ε=p-(1/k)(>0)とおけば、k以上のすべての自然数nについて1/nはpのε近傍に含まれません。
x=j/k はすばらしい発想ですね。脱帽です。これだと確かに0<p<1、1≦pの場合分けが必要ありません。
どうもありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
(1)解き方にでてくるpとは何でしょうか?
問題文には見当たらないようですが。。。
なぜか問題文を書き換えて{p+(1/n)}への考察をしてるのかな?と思いきや、そうでもないみたいですし。
示すべきは、
・0がAの集積点であること
・x≠0となる任意の実数xがAの集積点でなはいこと
の2つです。
(2)の何が(1)と同様なのかもよくわからりません。
この回答への補足
qyueen997さん、
ご回答、ありがとうございました。
>(1)解き方にでてくるpとは何でしょうか?
>問題文には見当たらないようですが。。。
書き落としです。集積点の定義を引用しましたが、そのpと同じ意味で使いました。つまり、距離空間Xの任意の点Pという意味です。
>示すべきは、
> ・0がAの集積点であること
> ・x≠0となる任意の実数xがAの集積点でなはいこと
>の2つです。
おっしゃるとおりです。自分としては↑のご指摘通りやってみましたが、ちょっとごたごたしているようです。
>(2)の何が(1)と同様なのかもよくわからりません。
箇条書きするときの番号振りを間違えました。
(1)の解答において、
(1) p=0 のとき (1) →(a)
(1)p<0 のとき (1)→(b)
(2)0<p<1 のとき (2)→(c)
(3)1≦pの場合 (3)→(d)
このように番号を振り直さなくてはなりません。
すみませんでした。
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