運動量保存則と力学的エネルギー保存則

運動量保存則が理解できません
たとえばなにか物体をある程度の速度で静止している同質量の物体にぶつけた後それらがいっしょくたになって飛んでいった場合、運動量保存則と力学的エネルギー保存則ではVの値が違うような気がしてなりません。そんなことはあり得ないので僕が間違っているのですが、どこが違うのかもわからない始末…。
力学的エネルギー保存則のほうは理解できている（と思いたい）ので、多分運動量保存則の理解に問題があるのだと思います。どなたかわかりやすく説明していただけると幸いです。

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/10/17 19:16

運動方程式を考えます。

i番目の質点に関する量を添え字iであらわし、
外力をFi、j番目の質点がi番目の質点に及ぼす力をfijとすると

mi d^2 ri/dt^2 = Fi + Σj(j≠i)fij

これをiについて和を取ります

Σi mi d^2 ri/dt^2 = Σi Fi + Σi (Σj(j≠i)fij)

Σi (Σj(j≠i)fij)を和の記号を使わずに書いてみると

Σi (Σj(j≠i)fij)
= f12 + f13 + + ・・・+ f21 + f23 + ・・・ + f31 + f32 + ・・・
= (f12 + f21) + (f13 + f31) + (f23 + f32) + ・・・・

ところが作用反作用の関係からfij = - fjiになる、つまり、f21= -f12, f31 = - f13, f32 = -f23, ・・・なのでこの和は結局全部０になります。

また左辺は質量が定数なのでmi d^2 ri/dt^2 = d/dt ( mi dri/dt) = d pi /dt と書くことができるので、結局

d(Σi pi)/dt = Σi Fi

外力が全く働いていなければ、

d(Σi pi)/dt = 0

となり、運動量の合計は時間によらず変化しません。つまり運動量が保存します。

ここまで何の近似も使っていないので、外力さえ働いていなければ運動量保存則はかならず成り立ちます。(使っているのは運動方程式と作用反作用の法則だけ)

これに対し、力学的エネルギーが保存するためには力に特定の制約が加わります。
力学的エネルギーが保存するような力を保存力といい、保存力であるためには、

(1)力が座標のみによって決まる、(2)仕事が物体が移動する経路によらない、

という条件を満たす必要があります。摩擦力などはこれを満足しない力の代表です。

質問のような衝突後一体となって運動するような場合も非保存力が働く例の典型で、力学的エネルギーは保存しません。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/10/17 16:30

この場合、力学的エネルギーは保存しません。

二つの物体がぶつかりくっついた段階でエネルギーの一部が物体の変形や音などの形に変わってしまい物体の持つ力学的エネルギーは減少します。
力学的エネルギーが保存されるのは完全弾性衝突の場合に限られ、その場合は二つの物体がくっつくことはありません。

非完全弾性衝突の場合でも運動量の総和は保存されます。