連続関数， 解説もお願いします。

関数ｆ（ｘ）に対しｆ（a）＝aを満たす点ｘ＝aをｆ（ｘ）の不動点という。
ｆ（ｘ）が閉区間［0，1］上の連続関数であり，その値域が閉区間［0，1］に含まれるとき，ｆ（x）の不動点x=aが区間［0，1］に必ず存在することを示せ。

関連問題も解けるようになりたいので，解説もお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ZET235711 回答日時： 2011/11/10 18:25

閉区間［０，１］に，ｘ＝aが存在すれば，必ず成り立つことを以下，証明する．

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ｆ（1)-f(0)=k(1-0)
それぞれに値域が等しいことから，

0≦f(0)≦1，0≦f(0)≦1より，
必ず，
0≦|f(1)-f(0)|≦1
となる．
つまり，|ｋ|≦１
しかも，f(a)=aより，

（i）a>1のとき，
f(a)=a>1となり，
関数ｆ（ｘ）に関して，閉区間[０，１]内に，aは存在しないとなり，値域の定義に矛盾する．

（ii）a<0のとき，
a=f(a)＜1となり，
関数ｆ（ｘ）に関して，閉区間[０，１]内に，aは存在しないとなり，値域の定義に矛盾する．

（iii）0≦a≦1のとき，
f(a)=aより，
0≦f(a)≦1となり，
ｆ（ｘ）が閉区間［0，1］上の連続関数であり，その値域が閉区間［0，1］に含まれるとき，ｆ（x）の不動点x=aが区間［0，1］に必ず存在する．
以上，（i），（ii）および（iii）より，
題意は証明された．

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/11/10 17:47

g(x)=f(x)-x

とします。g(x)は[0,x]上の連続関数です。

このように置くとこの問題は[0,1]上でg(x)=0となるxが存在することを示せ、という問題に置き換わります。

g(0)とg(1)の大きさを調べ、g(0)≠0,g(1)≠0の場合は中間値の定理を使えば示すことができるでしょう。