部分分数分解について

Question

積分の単元に入り、分数を部分分数分解して積分する作業が必要になってきたのですが、例えば
4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)+B/(x+1)^2+(Cx+D)/(x^2+3)
と表せるのはなぜですか？単純に
A/(x+1)^2+B/(x^2+3)と表せるのはわかりますがなぜ上記のような表現になるのか分かりません。どなたか教えていただけないでしょうか？

alice_44 · Accepted Answer

4/{(x+1)^2(x^2+3)} の部分分数分解を考えるために、
4/(x^2+3) を x=-1 中心にテイラー展開してみます。

4/(x^2+3) は x=-1 で正則だから、展開できて、
4/(x^2+3) = α + β(x-1) + { (x-1)の二次以上の級数 }
となります。これを (x+1)^2 で割ると、
4/{(x+1)^2(x^2+3)} = α/(x-1)^2 + β/(x-1) + { (x-1)の整級数 }  ←(*)
となりますね。
最右の { (x-1)の整級数 } が、(x^2+3) を分母に持つので、
同様に (最右項)・{ x-√(-3) } を x=√(-3) 中心にテイラー展開して…
と繰り返せば、最初の式の分母の因子が何個であっても
全て部分分数分解することができます。

係数に虚数が現れるのが嫌いであれば、分解ができてから、
1{ (x-√(-3) } と 1/{ x+√(-3) } を組み合せて、実係数にすればよいです。

(*) の式に α, β が出てくる様子を見れば、
4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)^2+B/(x^2+3) ではなく
4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)+B/(x+1)^2+(Cx+D)/(x^2+3) であることが
自然に思えるのではないでしょうか。

info22_ · Answer

>4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)+B/(x+1)^2+(Cx+D)/(x^2+3)　…(★)
と表せるのはなぜですか？
このように分解しないと恒等的に左辺と右辺が等しくならないからです。

両辺に左辺の分母「(x+1)^2*(x^2+3)」を掛けると
4=A(x+1)(x^2+3)+B(x^2+3)+(Cx+D)(x+1)^2
右辺を展開すると
4=(A+C)x^3+(A+B+2C+D)x^2+(3A+C+2D)x+(3A+3B+D)
これが恒等的に成り立つようなA,B,C,Dは一意に決まります。
つまり
A+C=0, A+B+2C+D=0, 3A+C+2D=0, 3A+3B+D=4
未知の定数A,B,C,Dについての4つの方程式が4つあるので、連立方程式として解けば
A=1/2,B=1,C=D=-1/2
とただ１組みのA,B,C,Dが決定出来ます。
このA,B,C,Dの組みを(★)に代入すれば(★)は恒等式になります。
つまり左辺は右辺のように部分分数分解形式に式の変形ができるということです。

>A/(x+1)^2+B/(x^2+3)と表せるのはわかりますが
表せないのに、なぜわかるのですか？
仮に
4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)^2+B/(x^2+3)　…(■)
が恒等的に成り立つとして、A,Bが求まるでしょうか？
両辺に「(x+1)^2(x^2+3)」を掛けても恒等的成り立つはずだから
4=A(x^2+3)+B(x+1)^2
展開すると
4=(A+B)x^2+2Bx+(3A+B)
これも恒等的成り立つはずだから各次の係数を比較して
A+B=0, 2B=0, 3A+B=4
未知定数A,Bが２つに対して方程式が３つ有り、連立方程式の解が存在しません。
つまり、(■)の部分分数分解の式が間違っていることを意味します。

つまり、２項に部分分数分解するなら
4/{(x+1)^2(x^2+3)}=(Ax+B)/(x+1)^2 +(Cx+D)/(x^2+3)　…(◆)
の形式でないといけないです。
分母が２次の場合は分子は１次少ない１次式の「(Ax+B)」や「(Cx+D)」としないといけません。
前の項は
(Ax+B)/(x+1)^2={A(x+1)+(B-A)}/(x+1)^2=A/(x+1)+(B-A)/(x+1)^2
と変形できるので（◆）は（★）の分解式の形式に変形できますね。

tknakamuri · Answer

そう覚えておきましょう。

私も知りませんでしたが、証明は以外に長いですね～

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/quotef3.pdf

kabaokaba · Answer

そういうもの

と慣れてしまうのが一番現実的なんだけど．
はっきりいってしまえば
積分がしやすいように「こうなったらいいな」的に決めたと
考えるのが納得しやすいかも

A/(x+1)^2+B/(x^2+3)

って変形しても積分が簡単にできる？
最初の項はともかく，B/(x^2+3)は積分できるけど
それほど簡単（なれてれば簡単なんだけど，Arctanがでてきてしまう）ではない

A/(x+1)+B/(x+1)^2+(Cx+D)/(x^2+3)

の形なら簡単にできる．1/xとx^{-2}の積分とf'/f型の積分の和にすぎない

そもそも，もともとの式を

A/(x+1)^2+B/(x^2+3)

ほんとうにこうできる？
これを通分すると分子は
A(x^2+3)+B(x+1)^2 = (A+B)x^2 + 2Bx + 3A+B
だけど
これが 4 になるってことは
A+B=0，2B=0，3A+B=4
だけど，こんなAとBは存在しない

===========
数学的には・・・・

多項式gとhが互いに素であるならば
pg+hq=1
となる多項式pとqが存在するので
（整数のときは「ユークリッドの互除法」で有名だから知ってると思う）
任意の多項式fに大して
(fp)g+(fq)h=f 
両辺を gh で割って
f/(gh) = (fp)/h + (fq)/g

これがまず部分分数展開の基本

今回の質問は
f=4，g=(x+1)^2，h=x^2+3
とすることになる．いったん
4/{(x+1)^2(x^2+3)} = P(x)/(x+2)^2 + Q(x)/(x^2+3)
という形に変形することになる．
ここで，PとQは多項式だということに注意．
実際にPとQを計算してみるのはちょっと面倒だけど
存在するということが大事．

次に・・・・
fとgを多項式として，
f/g^n を考える
割り算の原理より
f= pq^{n-1} + q (qの次数はq^{n-1}の次数未満)
つぎに q を g^{n-2} で割れば
q = rq^{n-2} + s (sの次数はq^{n-2}の次数未満)
なる
これを繰り返していけば
f= p1 q^{n-1} + p2 q^{n-2} + ・・・ + pn-1 q + pn
となりこの両辺を g^n でわれば
f/g^n = p1/g + p2/g^2 + ・・・ + pn/g^n
となる

以上を考えれば
4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A(x)/(x+1) + B(x)/(x+1)^2 + C(x)/(x^2+3)

という形にできることはわかる
注意は，一般論では分子の次数はそれほど考えてなかったので
このままでは分子は多項式にすぎないということ．

けど，どうして分母がこういう形になるのかは理解できると思う．

分母が g^n の形のときの
分子の次数まで精密に考えるのは
掲示板に書くのが厄介だから
興味があれば自分で考えてみて．

基本的には割り算の余りの次数とか商の次数を
丁寧に考えればいいだけ．

f/gh の形のときの分子の次数を考えるのは
たぶん一般論としては厄介かも．
ユークリッドの互除法の多項式版の証明を丁寧に検証すればできるのかもしれないけど
代数（多項式環）に詳しい人にお任せ
＃高木貞治の本（初等整数論講義あたり）とかにでてるのかな。。。部分分数展開

kopanda116 · Answer

積分できる形になれば、別にどんな形でも構わないと思うのですが・・・

そもそも、
　　4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)^2+B/(x^2+3)
で表現すると、
AとBは原理的には、1次式でなければならないですよね。
　A=ax+b
　B=cx+d
部分分数に分ける際は、分母の次数よりも分子の次数が小さいはずです。
というわけで、
　　4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)+B/(x+1)^2+(Cx+D)/(x^2+3)
という表現は、一番上の式をさらに分解して、最大限細かくした式になります。

部分分数分解について

4/{(x+1)^2(x^2+3)} の部分分数分解を考えるために、

>4/{(x+1)^2(x^2+3)}=A/(x+1)+B/(x+1)^2+(Cx+D)/(x^2+3) …(★)

そう覚えておきましょう。

そういうもの

積分できる形になれば、別にどんな形でも構わないと思うのですが・・・

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