No.2ベストアンサー
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∂u/∂x=u_x
∂v/∂x=v_x
∂u/∂y=u_y
∂v/∂y=v_y
{(∂/∂x)^2}u=u_xx
{(∂/∂y)^2}u=u_yy
{(∂/∂x)^2}v=v_xx
{(∂/∂y)^2}v=v_yy
とすると
f'(z)=(u_x)+i(v_x)=(v_y)-i(u_y)
u_xx+u_yy=0
v_xx+v_yy=0
だから
{(∂/∂x)^2}|f(z)|^2+{(∂/∂y)^2}|f(z)|^2
={(∂/∂x)^2}(u^2+v^2)+{(∂/∂y)^2}(u^2+v^2)
=2{(∂/∂x)(uu_x+vv_x)+(∂/∂y)(uu_y+vv_y)}
=2{(u_x)^2+uu_xx+(v_x)^2+vv_xx+(u_y)^2+uu_yy+(v_y)^2+vv_yy}
=2{(u_x)^2+(v_x)^2+(u_y)^2+(v_y)^2+u(u_xx+u_yy)+v(v_xx+v_yy)}
=2{|f'(z)|^2+|f'(z)|^2+u*0+v*0}
=4|f'(z)|^2
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