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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
rockman9さん、こんにちは。
#1の方が詳しい説明してくださっていますが、
>「∠APB=θ」とおくと
S=1/2AC・BDsinθ
が成り立つので...
とあります。どういう過程でこの式が導かれたのでしょうか?
確かに、いきなり出てくると、面くらいますよね。
もうちょっと説明が欲しいところです。
点PはACとBDの交点ですから
四角形ABCD=三角形ABD+三角形CBD
と分けて考えましょう。
ちょうど、BDですぱっと切った感じです。
△ABDの面積は、
底辺BD 高さはAP*cosθになるのはいいでしょうか。
△ABD=(1/2)BD*AP*cosθ・・・(1)
△CBDの面積は、
底辺BD 高さはCP*cosθですから
△CBD=(1/2)BD*CPcosθ・・・・(2)
AC=AP+CPですから
(1)+(2)より
△ABD+△CBD=四角形ABCD
=(1/2)BD*AP*cosθ+(1/2)BD*CPcosθ
=(1/2)BD*(AP+CP)*cosθ
=(1/2)BD*(AP)*cosθ
となって解答の式が出てきます。
線分BDで2つに四角形を切った方が分かりやすいでしょうね。
この回答への補足
すいません。とても丁寧に説明していただいたのですが、高さがAP*cosθになる理由がどうしても分かりません。三角比の関係か何かを使ったのでしょうか?理解力が足りないもので…もしよろしければ教えてください!
補足日時:2003/11/29 23:34No.3
- 回答日時:
凸四角形の場合なら・・・
S=△APB+△BPC+△CPD+△DPA
=(1/2)*PA*PB*sinΘ
+(1/2)*PB*PC*sin(180-Θ)
+(1/2)*PC*PD*sinΘ
+(1/2)*PD*PA*sin(180-Θ)
=(1/2)sinΘ*(PA*PB+PB*PC+PC*PD+PD*PA)
=(1/2)sinΘ*(PA+PC)(PB+PD)
=(1/2)*AC*BD*sinΘ
凹四角形の場合も、同様に4つの△を考えて、加減すれば同じ結果が出てくると思います。
No.1
- 回答日時:
こんばんは。
なにが分からないのかが良く分かりませんが、
> 「∠APB=θ」とおくと
> S=1/2AC・BDsinθ
> が成り立つので...
これがわからないと言う事でしょうか?
でしたら、四角形ABCDの面積は、三角形ABC+ACDとなるため
二つの三角形の底辺をACとした場合、それぞれの高さを足した物は、
頂点BからACへの垂線と、頂点DからACへの垂線を足した物となる
から、絵を描けばすぐに分かりますが、Bから下ろした垂線を延長した
ものと、頂点Dを通ってACと平行な線を引いたところの交点をFとす
ると、二つの三角形の高さの合計はBFになります。
今、∠APB=θなので、∠DPC=θとなります。
また、∠DFB=90度だから、∠BDF=(180度-θ)となるため
sin∠BDF=sin(180度-θ)=sinθとなり
S=1/2(AC×BDsinθ)になります。
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