出産前後の痔にはご注意!

(1)放物面z=x^2+y^2とz=4-x^2ーy^2で囲まれる体積を求めよ
以上のような問題において図形的にどちらの関数が上にくるのかいまいち判別できません。
平面上の関数なら概形や位置関係がわかるのですが・・・

(2)上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2
範囲Dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。
最初の式をf(x、y)z=√1-(x^2+y^2)、さらにg(x、y)=√3/2としても
困難な計算になるため正しい方法とは思えません。
どなたか知恵をお貸しください。

A 回答 (3件)

続いて(2)について



>「上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2」で囲まれた立体の体積Vを求めれば良いですね。
立体は半径1の半球をz=√3/2の平面で切断し、上側をそぎ落とした残りの部分の立体となります。
これもz軸を中心とした回転体の体積で求まります。

>範囲Dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。
この範囲をどこから出したのか、さっぱり分かりません。

立体をy=0の平面(xz座標面)で切断した座標面で考えると
回転体の体積公式を使って
 V=π∫[0,√3/2] x^2 dz , ただし x^2+z^2=1
V=π∫[0,√3/2] (1-z^2) dz
この位の積分は出来ますね。やってみて下さい。
 ( → V=3(√3)π/8 )
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まず(1)について


両方ともx軸を回転軸とする回転放物面です。
求める立体は茶碗を上向きに置き、その上にお内大きさの茶碗を下向きにして積み重ねて置いたとき、両方の茶碗の間に出来た空間が、2つの回転放物面に囲まれた体積の空間になり、下の茶碗の内面がz=x^2+y^2で表される曲面、上の下向きのなった茶碗の内面がy=4-x^2-y^2の曲面に対応します。囲まれた立体の中心軸がz軸、立体をz軸に垂直な面で切断すると円盤になります。
立体をxz座標面(y=0の平面)で切断すると添付図のような黄色と水色で塗り潰した断面図になります。上下の曲線は
下が z=x^2, 上が z=4-x^2 となります。
図の水色の領域をz軸の周りに一回転してできる回転体が求める立体となりますので回転体の体積公式を使えば重積分を使わなくても、立体の体積Vを求めることが出来ます。
立体はz=0~2の区間とz=2~4の区間が対称、かつ合同なので、下半分を求め2倍すれば良く
 V=2*π∫[0,2] x^2 dz 、ここで z=x^2
で求まります。
 V=2π∫[0,2] z dz
この位の積分なら出来るでしょう。やってみて下さい。
 (→ V=4π)
「重積分により体積・面積を求める問題」の回答画像2
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z=x^2+y^2は(0,0,0)を通り下に凸、z=4-x^2ーy^2は(0,0,4)を通り上に凸になるのではないでしょうか。

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q球と円柱の共通部分の体積

「原点を中心とする半径Rの球x^2+y^2+z^2=R^2と半径R/2の円柱x^2+y^2≦Rxの共通部分の体積を求めよ。」
この問題ののアプローチが分かりません。
どういう状態なのかをイメージすることができますが、具体的に計算で体積を求めるにはどういった解法を用いるのか、ひらめきません。
分かる方、指南よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦y、でz方向に0→√(R^2-x^2-y^2)だから、
V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
r:0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦y、でz方向に0→√(R^2-x^2-y^2)だから、
V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
r:0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
http://...続きを読む

Q回転放物面 z=x^2+y^2 の面積を求める。

回転放物面 z=x^2+y^2 (D:x^2+y^2≦1)の面積を

極座標(r,θ)を用いて

x=rcosθ
y=rcosθ
z=r^2

を用いて計算していったところ

7π/3 となりました。

途中式の不安から質問に至るのですが、これでよいのか・・・考え中です。

もし違うなら捕捉で途中式を追加していきます。

お助けよろしくお願いします。

Aベストアンサー

球の場合もそうですが、面積積分の公式を当てはめようとするより、それを導く過程を応用するのが重要です。
回転体の場合xy面内で一様な回転ですから円筒座標を用いるところまでは良いですが、面積素片をちゃんと考察しなければなりません。

この回転放物面はz軸の周りの回転ですから、z軸を含む平面が回転体表面を切ったときの放物線の接線と、回転方向が直交するのは明らかです。
従って面積素片は (回転方向の線素)×(放物線の線素)になります。

回転方向の線素 = rdθ
放物線の線素 = √( (dz)^2 + (dr)^2 ) = √( 1 + (∂z/∂r)^2 ) dr
= √( 1 + (2r)^2 )
従って、面積素片は、
dS = r√( 1 + (2r)^2 ) drdθ
個々に、r=0~1、θ=0~2π

で、答えは 7π/3 にはなりません。

円筒座標での公式、
dS = √( r^2 + r^2(∂z/∂r)^2 + (∂z/∂θ)^2 ) drdθ
も上に一致することがわかります。

Q球体と放物線に囲まれる曲面積体積を求める問題で・・

放物面S1:z=x^2+y^2と球面S2:x^2+y^2+z^2=2を考える。
(1)S1とS2によって囲まれる部分の体積を求めよ。
(2)S1がS2によって切り取られる部分の曲面積を求めよ。
(3)S2がS1によって切り取られる部分(上の部分)の曲面積を求めよ。

という問題がわかりません。 できれば解説を書いてもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

放物面S1:z=x^2+y^2  ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=z
(r≧0,-π≦φ≦π,z≧0)
とおくと
r=√(x^2+y^2) ...(C)

(A),(B),(C)より
r^2+r^4-2=0
(r^2+2)(r^2-1)=(r-1)(r+1)(r^2+2)=0
r≧0より r=1

(1)
回転体の体積公式を使って
V=π∫[0→1]r^2 dz+π∫[1→√2] r^2 dz
=π∫[0→1] zdz+π∫[1→√2] (2-z^2)dz
=π[z^2/2][0→1]+π[2z-z^3/3][1→√2]
=π/2+π[2(√2-1)-(1/3)(2√2-1)]
=π(8√2-7)/6

(2)
z=f(r,φ)=r^2
fr(r,φ)=2r,fφ(r,φ)=0
S=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √{1+(fr)^2} rdrdφ
=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √(1+4r^2) rdrdφ
=∫[φ:0→2π]dφ∫[r:0→1] r√(1+4r^2) dr
=2π[(1/12)(1+4r^2)^(3/2)][0→1]
=π(5√5-1)/6

(3)
z=f(r,φ)=√(2-r^2)
fr=-r/√(2-r^2),fφ=0
S=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √{1+(fr)^2}rdrdφ
=∫[φ:0→2π] dφ∫[r:0→1] √{1+(fr)^2} rdr
=2π∫[0→1] r√{1+r^2/(2-r^2)}dr
=2π∫[0→1] (√2)r/√(2-r^2) dr
=2π√2 [-√(2-r^2)][0→1]
=2π√2 (√2-1)
=2(2-√2)π

放物面S1:z=x^2+y^2  ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=z
(r≧0,-π≦φ≦π,z≧0)
とおくと
r=√(x^2+y^2) ...(C)

(A),(B),(C)より
r^2+r^4-2=0
(r^2+2)(r^2-1)=(r-1)(r+1)(r^2+2)=0
r≧0より r=1

(1)
回転体の体積公式を使って
V=π∫[0→1]r^2 dz+π∫[1→√2] r^2 dz
=π∫[0→1] zdz+π∫[1→√2] (2-z^2)dz
=π[z^2/2][0→1]+π[2z-z^3/3][1→√2]
=π/2+π[2(√2-1)-(1/3)(2√2-1)]
=π(8√2-7)/6

(2)
z=f(r,φ)=r^2
fr(r,φ)=2r,fφ(r,φ)=0
S=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √{1+(fr)^2} rdrdφ
=∫∫{0≦r≦1,0≦φ≦2π} √(1+4r^2...続きを読む

Q極座標による重積分の範囲の取りかた

∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2)
を極座標でに変換して求めよ。

という問題で、

x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、
rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。


x^2+y^2
= (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2
= r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2}
= r^2< = π^2

とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか?
rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
0≦r≦π、0≦θ<2πです。(-π<θ≦πでもよいです。
等号もどっちにつけても良いです)

ちなみに極座標ではr≧0です。

極座標は原点からの距離rと、x軸とのなす角θを使った点の表示
方法です。

Q2重積分を使った球の体積の求め方

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
どなたか詳しい方教えてください。

Aベストアンサー

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
ですから,
微小体積 z dx dy を 領域 0≦ x^2 + y^2 ≦ R^2
について積分すればいいでしょう.

Q曲面積

(1)x+y+z=1    x、y、z>=0の部分の面積
  答えは√3/2とあるのですが以下のような考えだとどこが間違っているのでしょうか?
  z=1-x-y D={0<=x<=1 0<=y<=1}とすると
zx=-1 zy=-1
S=∫(0→1)dx∫(0→1)√3 dy
 =√3
(2)x^2+y^2=a^2(a>0)の内部にある円柱面x^2+z^2=a^2の表面積
  上記の面積を表す式のf(x、y)としてz=√(a^2-x^2)   D={x^2+z^2<=a^2}
と考えたのですが計算途中で明らかにややこしく、間違っているのだと思いました
  どのように考えればよいのでしょうか?
(3)錐面x^2+y^2=z^2z (z>=0)が球面x^2+y^2+z^2=a^2 (a>0)により切り取られる面積
   これについてはお手上げです。何をf(x,y)にするのかDが何かもわかりません。
  どなたかご教授頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足について

(2)について
>>最初の式(★)は上下の曲面全体の曲面の面積を表し、
>> (A)の領域の面積を「4」倍すれば上半分の曲面の面積となります。
>ここの文がうまくかみ合いません・・・
>上下の曲面全体の曲面の面積とは求める曲面積とは違うのでしょうか?

折角、図を付け、説明しても、日本語の読解力不足のようですね。
数学は国語の読解力不足で理解できず分からないこともありえます。
もっと図と説明文をじっくり眺め意味を理解しましょう。

更に図を書いて積分領域と曲面の対応と積分の式の対応を説明しておきます。理解出来るかはわかりませんが?

添付図の曲面(1)から曲面(8)までを併せた曲面全部が切り取られた曲面で、これらの合計の面積が求める面積であることはお分かりですか?
(1)~(8)の8つの曲面の面積は全て等しいことは、切り取られた全体の曲面がxy座標平面、yz座標平面,xz平面のいずれに対しても面対称であることから明らかですがここまではお分かるですか?

求める面積Sの曲面をz≧0の部分((1)~(4))とz<0の部分((5)~(8))に分ける。前者の曲面の面積Sa((1)~(4)の面積),後者の曲面の面積Sb((5)~(8)の面積)とおくと 両曲面はz=0の面(xy座標平面)に面対象なのでSa=Sb。

 S=Sa+Sb=2Sa=2∬[D] √(1+zx^2+zy^2)dxdy,D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2}
ここでz=√(a^2-x^2),√(1+zx^2+zy^2)=a/√(a^2-x^2)なので
 Sa=∬[D] a/√(a^2-x^2)dxdy,D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2}
Saは(1)~(4)を併せた曲面の面積です。
(1)の面積をS1、(2)の面積をS2、(3)の面積をS3,(4)の面積をS4とすると
 Saの曲面(z=√(a^2-x^2)は平面x=0(yz座標平面)及び平面y=0(xz座標平面)に対して面対称なのでS1=S2=S3=S4。従って
 Sa=S1+S2+S3+S4=4S1
=4∬[D1] a/√(a^2-x^2)dxdy,D1={(x,y)|x^2+y^2<=a^2,x≧0,y≧0}
 S=2Sa
=8S1
  =8∬[D1] a/√(a^2-x^2)dxdy,D1={(x,y)|x^2+y^2<=a^2,x≧0,y≧0}
ここでS1は添付図の(1)の曲面(水色の曲面)の面積です。

以上の説明でお分りになりましたでしょうか?

#1,#2です。

A#2の補足について

(2)について
>>最初の式(★)は上下の曲面全体の曲面の面積を表し、
>> (A)の領域の面積を「4」倍すれば上半分の曲面の面積となります。
>ここの文がうまくかみ合いません・・・
>上下の曲面全体の曲面の面積とは求める曲面積とは違うのでしょうか?

折角、図を付け、説明しても、日本語の読解力不足のようですね。
数学は国語の読解力不足で理解できず分からないこともありえます。
もっと図と説明文をじっくり眺め意味を理解しましょう。

更に図を書いて積分領域と曲面の対応...続きを読む

Q重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。

重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。
球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ(a>0)
自分の解法は
 z(>0)について解いてz=√(a^2-x^2-y^2),積分領域D:x^2+y^2<=axの上にある曲面積を2倍して
Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
求める曲面積s=2∬D √(1+Zx^2+Zy^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとJ=r,積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、解答は
D:x^2+y^2<=a^2,y>=0の上にある曲面積を4倍して求めていて、
S=4∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y=rsinθと置いて、M:0<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2
S=4∫(0→π/2)∫(0→acosθ)r/√(a^2-r^2)drdθ
=4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1)

となって答えが違ってしまうのですが、何故だかわかる方がいたら助けてください。

重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。
球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ(a>0)
自分の解法は
 z(>0)について解いてz=√(a^2-x^2-y^2),積分領域D:x^2+y^2<=axの上にある曲面積を2倍して
Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
求める曲面積s=2∬D √(1+Zx^2+Zy^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとJ=r,積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π ...続きを読む

Aベストアンサー

>Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
間違い。
Zx=-x/√(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/√(a^2-x^2-y^2)

>求める曲面積S=2∬[D] √(1+Zx^2 +Zy^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くと|J|=r,
>積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
>S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
S=2∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a∫(-π/2→π/2)[-√(a^2-r^2)](r:0→acosθ)dθ
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ

>=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、
間違い。√(1-(cosθ)^2)=|sinθ|とすべき所を =cosθとして間違った。
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ
偶関数の対称区間での積分なので
=4(a^2)∫(0→π/2)(1-sinθ)dθ
=4(a^2)[θ+cosθ](θ:0→π/2)
=4(a^2){(π/2)-1}
これは解答と一致しています。

>解答は
>D:x^2+y^2<=a^2,y>=0の上にある曲面積を4倍して求めていて、
>S=4∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y=rsinθと置いて、M:0<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2
>S=4∫(0→π/2)∫(0→acosθ)r/√(a^2-r^2)drdθ
>=4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1)

>となって答えが違ってしまう
θ:-π/2~π/2のとき
√{1-(cosθ)^2}=|sinθ|
上のθの範囲ではsinθは正にも負にもなります。それを単に「sinθ」としてしまったのが
間違いの原因ですね。
θ<0では √{1-(cosθ)^2}=-sinθ
θ>0では √{1-(cosθ)^2}=sinθ
としないといけません。

>Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
間違い。
Zx=-x/√(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/√(a^2-x^2-y^2)

>求める曲面積S=2∬[D] √(1+Zx^2 +Zy^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くと|J|=r,
>積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
>S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
S=2∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a∫(-π/2→π/2)[-√(a^2-r^2)](r:0→acosθ)dθ
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ

>=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、
間違い。√(1-(cosθ)^2)=|sinθ|とすべき所を =cos...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。


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