【数学の問題】※曲線と直線

ｘｙ座標平面上の原点O(0,0)、A(6,0)、B(6,8)

がつくる△OABの内接円の方程式は？

解答しか載っておらず、解けなかったので
解法付きでお願いしたいですm(__)m

No.4 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/01/11 14:41

＞直角三角形だということを利用してとく方法も教えて頂きたいです><

3辺は6、8、10。
内接円の中心を(α、β)とし、面積をＳを、内接円の半径をｒ、2S＝3辺の和＝6＋8＋10＝24.
公式：Ｓ＝sr＝24より、ｒ＝2。β＝r、6-α＝r　だから、(α、β、r)＝(4、2、2)。

(注)
S＝3辺の和/2とすると、Ｓ＝sr　は常識だろう。
分からなければ、内心を共通の頂点とする3つの三角形の面積の和＝外接する三角形の面積で求められる。
やってごらん。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/01/11 14:50

2S＝3辺の和 　の　Sは小文字だよ。

大文字みたいに見えるけど、ＰＣの調子がわるいのかな？
大文字のＳは面積、小文字のSは　3辺の和/2、間違わないでね。
打ちミスはしてないはずだが。

No.3 回答者： 151A48 回答日時： 2012/01/11 10:32

内接円の中心を（a,r）とおく。

図をかいてみると，rは円の半径であり，三平方の定理よりOA＝１０であることは分かりますか。ある点から円に２本の接線が引けますが，接点までの長さが等しいことより　a+r=6,10-a=8-6 という連立方程式ができることは分かりますか。これを解いてa,rを出せばよいでしょう。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/01/10 16:32

直角三角形だから、もっと簡単な方法があるが、一般の三角形にも通用する方法で解く。

O(0,0)、A(6,0)、B(6,8)。
内接円の方程式を(x-α)＾2＋(y-β)＾2＝r＾2　とすると、明らかに　α＞0、β＞0、r＞0
内接円の中心から、直線ＯＡ、ＡＢ、ＯＢまでの距離が等しいから、β＝r、6-α＝r、｜3β-4α｜＝5r　‥‥(1)
中心は直線：3y-4x＝0の下にあるから、3y-4x＜0.
よって、β＝r、6-α＝r、-3β＋4α＝5r　だから、連立すると、r＝2、α＝4、β＝2　だから、内接円の方程式は、(x-4)＾2＋(y-2)＾2＝4　となる。

この回答への補足

分かりやすい解説、ありがとうございます！

もしお時間がありましたら、
直角三角形だということを利用してとく方法も
教えて頂きたいです><

補足日時：2012/01/10 22:49

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/01/09 23:35

求める円の中心の座標を（ｘ、ｙ）として、中心からＯ、Ａ、Ｂまでの距離は全て等しいので

ｘ＾２＋ｙ＾２＝（ｘ－６）＾２＋ｙ＾２＝（ｘ－６）＾２＋（ｙ－８）＾２
これより
ｘ＾２＝（ｘ－６）＾２
ｙ＾２＝（ｙ－８）＾２
これを解けばｘ、ｙが判るので、√（ｘ＾２＋ｙ＾２）が半径になります。