テーマ自由の代数学のレポートには何を書けばよい？

現在、情報系の社会人大学院生で、代数学を受講しています。
代数学の先生から、定期試験をしない代わりにレポートを提出するように言われました。
レポートの内容は自由とのことです。

これまで大学では情報工学の授業のみを受講し、数学を受講してきませんでした。
そのため、情報工学のレポートはもちろん書いたことはあるのですが、数学のレポートは経験がなく、
何を書いたらよいか検討つきません。

同じ研究室や周囲の人たちは数学をとったことがないか、試験のみだったので分からないと言われます。

ご経験のある方がいらっしゃたらアドバイス等頂きたく、よろしくお願い致します。

No.3 回答者： WiredLogic 回答日時： 2012/01/31 11:47

#1です。

私自身は、代数学方面には暗くて、アドバイスができるような知識はありませんから、
質問者さんの希望なども置いておいて、完全に個人的な趣味の話をしますが、

近ごろ趣味で読んでいる数学の本に、

Wisconsin大学・H.Jerome Keisler教授の
「ELEMENTARY CALCULUS -- An Infinitesimal Approach」
「FOUNDATIONS OF INIFINITESIMAL CALCULUS」
という本(教授のホームページでダウンロードできるPDFですが)
があります。

ざっくり言えば、微積の基礎として、εδを使う代わりに、
「超実数」という、
「実数」を部分集合として含んだうえで、
「無限大」「無限小」も、広義の数モドキとして、
要素に持つ集合と、その上での計算規則を、
代数学的な要請をすべてクリアした形で構築し、

そこでの「無限小」を使って、微積を基礎づける、という、
破綻したライプニッツの夢を、現代数学のツールを使って
再度、実現したもの、ということになるかと思います。

「Elementary Calculus…」の方が、アメリカでの大学初年度の
微積の教科書として書かれたもので、付録に、興味のある学生
向けの「超実数」についての、ある程度の理論付けがあり、
「Foundations …」の方は、教師向きのガイド＋ちゃんとした
理論付け、という性格の本です。

Keisler教授のホームページは、次のURL、
http://www.math.wisc.edu/~keisler/
本のPDFファイルは、その
・Free Online Calculus Book (PDF files), updated December 2010
・Foundations of Infinitesimal Calculus (2007)
というリンクをクリックすると、ダウンロードできます。

私は大学で数学やらなかったので、これ以上年をとって、
チャレンジ不可能になる前に、ある程度、大学の数学を
勉強しておきたい、と思って、勉強を始めたのですが、
その間、εδは、解りはするけど、何か騙された気がする、
と思ってきたので、この本を見つけたときには、これは
読んでみなきゃ、と、思って、飛びつきました。

数学の勉強を始めるとき、興味は、自然科学・工学側に
あるので、抽象数学には手を付けないぞ、と思っていたの
ですが、この本が面白かったので、逆に、こちらを切り口に
代数学の俄か勉強^^も始めることになりました^^。

逆に、代数学の応用例として、こういうものを見るのも、
興味深いかも、と思い、試しに、紹介させていただきました。

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/01/30 17:42

無責任なアドバイスです。

暗号に関して質問者さんが詳しく，かつ，暗号とも少し関連のある分野の講義だったとすれば，その話題に引っ張り込むのがよろしいのでは?
例えば，「暗号には代数学としてはこんな定理が必要で，どこは理解したが，ここは理解できていない。こういう性質が数学的に明らかになると暗号の世界ではうれしいけれど，どこまで明らかになっているのだろう。こんな話をもっと突っ込んで解説して欲しかった。」などと書けば，代数学の先生にとっても勉強になって，「さすが社会人入学した人は違うな」というレポートになるのでは?

No.1 回答者： WiredLogic 回答日時： 2012/01/30 13:54

「代数学」は、非常に幅の広い分野なので、

こういうテーマはどうですか、という提案があっても、
それは、授業でまったくやってないので、解らない、
一から勉強しないといけない、とか、できれば、授業で
学んだことに関連したテーマでレポートを書きたい、
などということが出てくるかもしれません。

例えば、授業で学んだのは、主に、こういう範囲・レベルのことだった、
教科書があれば、こういう本だった、その中でも、特に、この部分は、
よく解ったし、興味があった、などということを、
補足で、書いてみてはいかがですか？

そうすれば、そこらへんに関連して、これなんか面白いですよ、という
提案も出てきやすいのではないかと思います。

この回答への補足

ご提案、誠に感謝いたします。
授業でやったのは、ユークリッドの互除法のような高校数学レベルの話から始まり、イデアルをやり、群、環、体をやり、最後に少しだけ拡大体の話の触れた、という進度です。
実は私、暗号に関わる研究をしてまして、拡大体など、極力暗号に関わる授業をしてほしいとお願いし、RSAなどの話にも少し触れてもらいました。
しかし、全体から見れば「暗号を話すためには前提が必要だ」ということで、結局暗号に関する話題は僅かで、ひたすら理論的な話になってしまった、というところです。
よろしくお願いします。

補足日時：2012/01/30 14:46

この回答へのお礼

追加ですが、使用していた教科書は、
寺田文行著、数理・情報系のための代数系の基礎、サイエンス社
という本でした。

お礼日時：2012/01/30 14:50