なぜ1+1＝2なのですか？

Question

ベクトルとかではなく一般的な算数の話なのですが、どうして1+1＝2なのでしょうか？

cozycube1 · Accepted Answer

まず、自然数で「1の次は2」と書くと決めています。2の次が3です。

算数に入る前に、数学基礎論に少し寄り道します。数学基礎論は、数学が数学として、どうして正しいか、どうすればもっと正しくなるか等々を研究する、数学自体を扱う数学の分野です。

まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,3……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。

足し算の定義としては、

１．「0+1＝1」と定義し、

さらに、二つの自然数m,nを自由に選んで、n'をnの次の自然数とすれば、

２．「m＋n'＝(m＋n)'　：ただし(m＋n)'はm＋nの次の数」

としました。これで、「自然数の次の数」＝「自然数1ずつ増やす」という自然数の定義だけで、あらゆる自然数の足し算が定義できています。

この定義は算数の足し算では、「数えたら、合っている」ということで、「当たり前」として説明なしに、「足し算はそういうもの」としています。

だから、「1＋1＝2」は「当たり前」となります。

ただ、上で説明した足し算の定義にたどり着くまでに、たとえば「数学原論」という分厚い数学基礎論の本では、300ページ以上を使って数学をあれこれ定義して、ようやく「だから、数学では1＋1＝2としてよいのである。」と述べています。
　ちなみに数学基礎論を専攻している人の中には「数学原論は、まだまだ定義が甘い」という人がいるそうです。恐るべき厳しさです。

つまり、「どうして、1＋1＝2なのか？」ではなく、「1＋1＝2で大丈夫なように数学を作っています！」ということです。

数学をちょっと小さくしても、数学の確かな一分野である算数も、1＋1＝2で大丈夫なようになっているということです。

alice_44 · Answer

No.16 です。補足を拝見しました。
現在の貴方の状態は、ベアノの公理を
見たことはあるが、理解していない
ということですね。覚え違いもあります。
やはり、「素朴な疑問」ではありませんでしたね。

A No.18 などを参考に、必ず「成書を読んで」
ベアノによる自然数の定義を確認し、
補足の内容を訂正してください。
その上で、加法の定義
[1]　∀x, x+0=x
[2]　∀x,y, x+(yの次)=(xの次)+y
を導入すれば、
(0の次)+(0の次)=(0の次)の次
が示せます。これが、示すべき 1+1=2 です。
[2] に x=(0の次), y=0 を代入するだけですね。

cozycube1 · Answer

お礼、ありがとうございます。

>ただ、≡はなんでしょうか？

定義の意味で使っています。普通の＝だと、単に等しいだけなので。それで教わったことがあったので、特に何も考えず使いましたが、非標準かもしれません。
　あらかじめ、意味を断らずに記号を使ってしまい、申し訳ありません。

とりあえず、ブルーバックスの「現代数学小事典」あたりを読んでもいいかと思います。それをもとにググれば、たいてい大丈夫じゃないかと思います。

途中で止めましたが、ブルーバックスには「ゲーデル・不完全性定理」あたりも良いと聞きましたが、今では「数学ガール/ゲーデルの不完全性定理」のほうが良いらしいです。

kabaokaba · Answer

No.16への補足をみたんですが・・・
本当にその定義を理解してますか？

というか・・その定義，突っ込みどころ満載で
あなたが期待してるであろうと思われる
基礎論的なお話にとっては
逆に分かりにくいんですが。。。
＃もちろん大筋では正解なのですが・・・
＃不用意な言及が多すぎるんですよ

例えば
「0の次の数を後継と呼ぶ」
これ，定義なんかになりえないですよ．
そもそも「次の数」って何ですか？
もっというと「数」って何ですか？という突込みができるわけです
だって今は「自然数の定義」つまり「数とは何か？」という
お話に突入してるのに
いきなり「数」が出てきてる・・・

「ある後継xとある後継yを足すと、xとyを足した後継になる」
足すとは何でしょう？
足すという操作がすでに定義されているのであれば
「1足す1」という操作の結果はその「足す」の定義に従えば
証明できるはずですよね・・・

ということで，ペアノの公理系を正確に吟味して
記号「1」「2」の定義をしっかりして
その上で「加法」を定めるとうまくいくと思います．

=============
ペアノ公理系
集合Xが以下の条件を満たすとする

(1) 0と呼ばれる要素がXに存在する
(2) Xの任意の要素xに対して，next(x)と呼ばれるXの要素が存在する
(3) 任意のXの要素xに対して，next(x)は0ではない
(4) Xの要素xとyに対して，next(x)=next(y)ならばx=yである
(5) Xの要素xに対する命題P(x)を考える．
・P(0)が真である
・P(x)が真であるならばP(next(x))も真である
という条件を満たすとき，Xの任意の要素xに対してP(x)は真である
＃(5)についてはいろいろな表現があるけど，こんな感じでいいよね
＃部分集合をつかって書くほうがいいのかな

Xに対して「加法」A(・,・)を以下のように定める
・Xの任意の要素xに対してA(x,0)=x
・Xの任意の要素x，yに対して A(x. next(y)) = next(A(x,y))

こんな感じかなー
こういう集合Xが存在することは，自分で調べてください．
さすがにZFCを説明する元気はないです．

さてさて・・・次に記号の定義
Xにおいて
1=next(0)，2=next(1)，3=next(2)，・・・という風に書くことにしましょう．

証明すべきは
A(1,1)=2
です．

A(1,1) = A(1,next(0)) = next(A(1,0)) = next(1) = 2

証明終わり

とまあ，こんな感じで，実は「数」という言葉なんかなしで
形式的にいっちゃえるわけですが・・・
実はでっかい落とし穴があります．

加法A(・,・)って，本当にきちんと定義できてるの？って話．
実は,この加法の定義が本当に適切なのか？ってのが
本質だったりするけど，この定義の妥当性。。。どうやって示すのか
忘れました（木亥火暴）．
帰納法をつかったかなーり厄介なもののはずなので
これまた基礎論の本を探してください
＃ゲーデルの不完全性定理の関係の本（ゲーデル数の説明がきちんとでてるもの）にあるかも

たしか写像g:X->Xと任意のxに対して
f(next(x))=next(g(x))，f(0)=x
を満たす写像f:X->Xの一意存在がどうたらこうたらだった気がする．
この命題をいろいろいじくって
交換法則・結合法則とかまで出せるはずです

cozycube1 · Answer

お礼、ありがとうございます。
#13,14です。

少しだけ、自然数の定義から、補足しておきます。
　suc(n)は、nの次、つまり後継、後者です。

0 ≡ φ
1 ≡ suc(0) = {0} = {φ}
2 ≡ suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {φ, {φ}}
3 ≡ suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {φ, {φ}, {φ, {φ}} }

こんな感じです。自然数は0を空集合として最初の数として定義され、自然数nはn≠0は、そのひとつ前までの自然数全ての集合という、帰納的定義となります。

足し算は、足し算の定義より、

1＋1＝suc(1＋0)＝suc(1)＝2

または、集合の和としても、足し算の定義に注意すると、

1＋1＝suc(1＋0)＝1＋0＋1＝{1∨0∨1}＝{{φ}∨φ∨{φ}}＝{φ∨{φ}}＝{φ, {φ}}）＝2

となり、矛盾なく一致します。

----------------
　……ということらしいです。
　数学基礎論って、深入りして正気を保つには、相当の覚悟が必要らしいので、私は「どうも数学は大丈夫みたいだ」というところで納得して、こわごわ引き返しましたです。
　実際のところ、自然数それぞれが集合だなどと意識すると、電卓のキーを打つのも手が震えますです。
　これ以上、深入りする勇気はありませんです。orz

alice_44 · Answer

「過去の回答によると」ではなく、貴方自身の理解度を聞かせてください。
また、その答えでは「１」「次の数」などの用語を使っていますが、
それらは何ですか？ 御自分の言葉で説明してみてください。
その辺が全く解からないのであれば、A No.1 が貴方向けだと思います。

alice_44 · Answer

回答への補足から見るに、何だか
素朴な質問という訳でも無さそうですが…

それを質問するのであれば、まず
「2 とは何か」について、
貴方の知識と考えを書いてからでしょう。
その内容次第で、語るべきことは異なる
と思います。

cozycube1 · Answer

#13です。
　うわーい、単純ミスです。すみません。訂正します。

誤>　まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,3……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。

1の次が3でどうする！＜自分orz

正>　まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,2,3,……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。

adgjmptw0t · Answer

１＋１＝

１がリンゴだとして

リンゴが１個 と もう一個なにかがあるから １個で
合わせて 二個です(o>ω<o)

hugen · Answer

それは、２＝１＋1　　だからです。

なぜ1+1＝2なのですか？

まず、自然数で「1の次は2」と書くと決めています。

No.16 です。

お礼、ありがとうございます。

No.16への補足をみたんですが・・・

お礼、ありがとうございます。

「過去の回答によると」ではなく、貴方自身の理解度を聞かせてください。

この回答への補足

回答への補足から見るに、何だか

#13です。

１＋１＝

それは、２＝１＋1 だからです。

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　まず、自然数で「1の次は2」と書くと決めています。

　お礼、ありがとうございます。

　お礼、ありがとうございます。

　#13です。

それは、２＝１＋1　　だからです。