内積つまりinner product

内積の名前の由来ですが、inner productのinnerにはどんな意味があるのでしょうか。ちなみに、私の内積の意味としては、例えば、ベクトルaとベクトルbの内積はベクトルaとベクトルbの近さを表している式だと考えています。向きが同じときは、最大になり、直角のとき０、向きが逆のとき最小というふうにです。高校時代の先生が教えてくれました。でも、innerについては教えてもらえませんでした。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#152422 回答日時： 2012/02/06 00:44

あなたの質問を読む前は自分も知らなかったのですが、参考URLを見つけました。

そこに

The term INNER PRODUCT was coined (in German as inneres produkt) by Hermann Günther Grassman (1809-1877) in Die lineale Ausdehnungslehre (1844).

According to the OED2 it is "so named because an inner product of two vectors is zero unless one has a component 'within' the other, i.e. in its direction."

と書いてあります。これによると"within"が由来のようです。

意訳すると、2つのベクトルaとbについて、a=pb+cとなるような数pとベクトルcが存在してbとcとは直交するようにできます。pがゼロであることとaとbの内積がゼロであることが同じことであって、内積が0でなければbと平行なベクトルpb（aの「b成分」）がbの中に「含まれている」くらいの意味合いのようです。

参考URL：http://jeff560.tripod.com/i.html

この回答への補足

和訳までしていただきましてありがとうございます。
大変、参考になりました。回答者様の見解（意訳）を元に私ももう一度考えてみました。
unless one has a component 'within' the other, i.e. in its direction."で
私は、one をベクトルa、the otherをベクトルbと解釈いたしました。

ベクトルa(以下→aと書きます。)とベクトルb(以下→b)について、ベクトルc(以下→c)が
存在して、→a=p→b+→cと書ける。ただし、→b・→c=0(→bと→cの内積は0)

ここで、→a・→bを考えると、→a・→b=p→b・→b+→c・→b=p|→b|^2 (→c・→b=0)
つまり、→a・→b=p|→b|^2
→a・→bが0でないとき、pも0でないので、→a=p→b+→cより、→aは→bを構成要素に持つ。（基底に持つ。）ではどうでしょうか。（という意訳ではどうでしょうか。）
失礼ながら、御意見をいただけると幸いです。

補足日時：2012/02/09 05:14

No.7 回答者： noname#152422 回答日時： 2012/02/09 22:29

> →a・→bが0でないとき、pも0でないので、→a=p→b+→cより、→aは→bを構成要素に持つ。

（基底に持つ。）ではどうでしょうか。

「基底」というと意味が違ってしまうので、あえて言うならば「→aは→b成分を持つ。」くらいでいいと思います。ここでいう成分というのが→aと→bとの内積を→bの大きさで割ったものになる、と。

なお、A.No.2での説明は文学的な言い回しであって、その解釈で正しいのかというのを含めて数学的な説明と呼べるようなものではなく、大げさに言えば歴史の解釈とでもいうべきものであり、A.No.2で示したサイトを紹介するに留まるということをご了承ください。

No.6 回答者： noname#152422 回答日時： 2012/02/08 04:36

追加情報です。

Grassmannの本は1862年に改訂版が出ているようです。
http://books.google.co.jp/books?hl=ja&lr=&id=lAQ …

こちらには137番のところからdas innere Produktについての説明が書いてあって、初版とは随分と様相が異なります。OEDのは直訳ではなくて330番以降にある幾何学的な性質についての説明と関連づけているのかもしれません。

一方、

> According to Schwartzman (p. 155):

の部分は以下の本から引用したもののようです。

"The words of mathematics: an etymological dictionary of mathematical terms used in English"
http://books.google.co.jp/books?id=SRw4PevE4zUC& …

116番に該当する記述があります。これはSchwartzmanの言葉で書かれていて、Grassmannの著作とどう対応しているのかはっきりしません。

こうしてみるとA.No.2で引用したURLは雑多な情報を並べただけなのかもしれません。

歯切れの悪い回答で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/07 09:42

A No.4 のリンク先内を Ausdehnungslehre で検索すると

それっぽい箇所が三つヒットしますが、
私のドイツ語力では読めませんでした。
どの箇所も、あまり OED の引用の原文には見えませんでしたが。
あれは、グラスマンの文章なんですかね？

疑う訳ではないんですが、
A No.2 のリンク先で、回答に引用された箇所の直後の文章
According to Schwartzman (p. 155):
When the German Sanskrit scholar Hermann Günther Grassman (1809-1877)
developed the general algebra of hypercomplex numbers,
he realized that more than one type of multiplication is possible.
To two of the many possible types he gave the names inner and outer.
The names seem to have been chosen because they are antonyms
rather than for any intrinsic meaning.
が気になったものですから。

No.4 回答者： noname#152422 回答日時： 2012/02/06 18:36

＞３

ドイツ語の原文は↓で見れますよ。
http://books.google.co.jp/books?hl=ja&lr=&id=bKg …

せっかく英訳があるからそれでいいと思ったんですけど、そこにこだわるならドイツ語で読んでみたらどうです？

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/06 14:13

OED かあ…

広辞苑には、何て書いてあったっけな。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/05 23:49

由来を聞いたことはないので、単なる

個人的な憶測を書きます。

内積の「内」自体には、あまり意味は無くて、
外積と対にしたから「外」に対して「内」に
なったんではないでしょうか。
外積の「外」は、外積 a×b が
a, b の張る線型空間に含まれない
ことが由来ではないかと。