メルセンヌ数について

正の整数kについて、Mk = 2^k - 1がメルセンヌ数である。
pは2ではない素数で、qはMpを割り切る事の出来る素数である。
この時、

1)どうすれば2^(q-1) - 1がqで割り切れると示せるのでしょうか？
2)gcd(2^(q-1), 2^p - 1) = 2^(gcd(q-1,p)) - 1は正しいとすると、gcd(q-1, p) = pである事はどうすれば示せるのでしょうか？
3)q = mp+1である事を偶数mで正しい事はどうすれば示せるのでしょうか?
4)Mpを割る事の出来るdはd ≡ 1(mod 2p)を満たす事はどうすれば示せるでしょうか？

メルセンヌ数の性質なんですが、どなたかご教授お願いします。。。

No.3 ベストアンサー 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/02 14:19

(4)だけ

>4)Mpを割る事の出来るdはd ≡ 1(mod 2p)を満たす

d=(q1^r1)*(q2^r2)*(q3^r3)・・・と素因数分解する(q1,q2,q3・・・は素数)。
3)の性質より，q1=2m1*p+1，q2=2m2*p+1，q3=2m3*p+1・・・とおける。
ここでq1^r1=(2*m1*p+1)^r1≡1^r1=1(mod　2p)
同様にq2^r2≡1(mod　2p)，q3^r3≡1(mod　2p)・・・
よってd≡1(mod　2p)

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/02 14:08

(3)だけ

>正の整数kについて、Mk = 2^k - 1がメルセンヌ数である。
>pは2ではない素数で、qはMpを割り切る事の出来る素数である。
>3)q = mp+1である事を偶数mで正しい事はどうすれば示せるのでしょうか?

mod　qの剰余系の上で乗法群における元2の位数をkとする。
すなわち，2^1,2^2,2^3,・・・,2^kのうち，2^k≡1(mod　q)を満たす最小の自然数をkとする。

ここで，2^x≡1(mod　q)なら，xはkの倍数である。
(∵xをkで割った余りをrすると，2^r≡1となる。r≠0だと「kが最小の自然数」に反する)

一方，qはMp=(2^p)-1を割り切る素数なので，2^p≡1(mod　q)である。
よってpはkの倍数。pが素数なのでk=pでなければならない。

さて，(1)から2^(q-1)≡1(mod　q)なので，q-1はpの倍数である。すなわち
q-1=mpと書ける。
ここで，qは2ではない素数なので，q-1は偶数。また，pは2ではない素数ゆえ奇数。
よってmは偶数に限られる。

No.1 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/02 13:40

1)だけ

フェルマーの小定理
qが素数のとき，a^(q-1)≡1(mod　q)
でa=2とする。

http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/ …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7% …