一辺の長さが2の正四面体について
(い)正四面体に外接する球の表面積を求めよ
(ろ)正四面体に内接する球の体積を求めよ
(は)外接球、内接球の表面積の比と体積の比を求めよ

解説お願いします

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A 回答 (4件)

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。


Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

 BH^2+(AH-R)^2=R^2
 4/3+(2√6/3-R)^2=R^2
 4/3+8/3-4R√6/3=0
 R=√6/2
 外接球の表面積S=4πR^2=6π

(ろ)
正四面体の体積V1=(底面積)*AH/3=CM*BM*AH/3
=1*√3*(2√6/3)/3=2√2/3 ...(A)
△BCD=CM*BM=1*√3=√3
内接円の半径をrとすると正四面体の体積V1は
 V1=4*三角錐OBCD=4*△BCD*r/3=4r√3/3 ...(B)
(B)=(A)とおいて
 4r√3/3=2√2/3 ∴r=1/√6
内接球の体積v=(4/3)πr^3=(4/3)π/(6√6)=π√6/27

(は)
内接球の表面積をs, 外接球の体積をVとすると
表面積の比S:sは
 s=S*(r/R)^2 より
 S:s=1:(r/R)^2=1:{(1/√6)/(√6/2)}^2=1:(1/9)=9:1

体積の比S:sは
 V=v*(R/r)^3  より
 V:v=(R/r)^3:1={(√6/2)/(1/√6)}^3:1=27:1
「空間図形の外接、内接球について」の回答画像3
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2012/03/10 20:14

出来ればなぜそうなるのかが知りたいです


>
内接する球は、正四面体の各面に1点で接し、その各接点と
内接する球の中心とを結ぶ各線分は、それぞれの面と直交
し、各線分の長さは全て等しく、その長さは内接する球の
中心とそれぞれの面との距離、すなわち内接する球の半径
になります。
今、正四面体の底面の正三角形を△ABC、内接する球の中心
をOとすると、OとA、B、Cとをそれぞれ結ぶ線分と△ABC
とで出来る三角錐の体積は、△ABCの面積×内接する球の半径
の3分の1になります。そして正四面体の各面を底面とする
同じ大きさの三角錐が4個でき、それらの体積の合計が
正四面体の体積と等しくなります。
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この回答へのお礼

なるほど ありがとうございます!

お礼日時:2012/03/10 20:52

平面図形で、正三角形・正方形などの正多角形で、


重心=外接円の中心=内接円の中心、になるのと同様に、
(外心、内心は、三角形専用語だから、使わない)

空間図形でも、正四面体・正六面体などの正多面体では、
重心=外接球の中心=内接球の中心、になります、
(このくらいは、学校の定期試験で特に指示があれば別ですが、
入試や模試では証明なしに使っても大丈夫のはず)

なので、(い)で、外接球の半径はすぐ解り、表面積が出る。

(ろ)は、正四面体を、A-BCD、重心(=内接球の中心)をG、
ΔBCDの重心をH、CDの中点をMとすると、
BMはΔBCDの中線で、Hは重心だから、AH:AM=2:1、
△ABMで、A,G,Hは一直線上にあって、AH⊥BM、や、
AG:GH=3:1などの関係から、GH=内接球の半径が求められる、
すると、体積も出る。

という具合にやっていくのがよさそう。

ベクトルを前面に押し出して、交点の位置ベクトルは、
などとやると、計算が結構面倒に…
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2012/03/10 17:32

方法だけです。



正四面体の体積を計算する(三角錐の計算)。
その4分の1を正四面体の1面の面積で割ると
内接する球の半径の3分の1になる。
内接する球の半径が分かれば、外接する球の
半径が分かる。
二つの球の半径が分かれば、(い)(ろ)(は)の
計算が出来る。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
出来ればなぜそうなるのかが知りたいです

お礼日時:2012/03/10 17:31

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まず最初に、算数レベルの計算も涙目で必死にならないと解けないおばちゃんからの質問だという事を念頭に置いててください。

一辺の長さが5ミリの三角錐があるとして、その三角錐の体積を求めたいのですが、

三角錐の体積=底面積×高さ×三分の一

という式があるまではわかったのですが、三角錐の高さが不明ゆえ計算できません。
一辺5mmの正三角形の面積は(底辺5x√3)÷2で高さを割り出し4.33012702とし
底辺5x高さ4.33012702÷2=10.8253175
おばちゃんの頭でなんとかできたのはここまでです。

お暇な方がいらしたらご教授いただけると嬉しいです。



なんでこんな計算がしたいかといいますと・・・
生姜をすってて最後に指先でギリつまめる程度の三角錐の欠片が残り、
【直径35mm高さ20mmの円柱型の生姜をすりおろしました。
 持ち手として最後に一辺5mmの三角錐型の欠片が残ってしまいました。
 すりおろされた生姜の体積を求めなさい。】
なんていう問題が頭に浮かんじゃったからだけなんです。
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おばちゃん...続きを読む

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No.3 です。一部書き間違えてましたので訂正。

誤>3.14xr^2xhx1/3=91000
正>3.14xr^2xhx1/3=9100


ところで、こんなページを見つけました。
http://www.shiojigyo.com/a040encyclopedia/encyclopedia2/encyclopedia2_1/

>比重
の項目。
>比重は2.16。ただし、サラサラした塩の、みかけの比重は食塩で約1.2です。

No.1さん、No.2さんが言われるように
塊でなく粒や粉だと隙間に空気が入ってる分軽いので、
それを加味するとこんな数字になるという事です。

No.3 では「10ccで11グラム」→ 比重は1.1 と見てましたが、
比重1.2 なら体積は少し小さくてよく、
10グラムには 8,333 mm^3 で足ります。

No.3では
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r^2xh≒7961
となる r と h を求めましょう。
一例として
r=14mm、h=40mmだと 8,206mm^3、約9.85グラムです。

もうひとつ大きな勘違いをしてました。

「円錐」と思ってましたが、求めたいのは「三角錐」ですか?
正三角錐だとするとその体積は
a(一辺の長さ)^3x(√2)÷12 だそうですから、
これが=8,333 となる a を求めましょう。

a=41mm と仮定すると、
体積は約8,122mm^3、重さ約9,747グラムと、近いですね。

No.3 です。一部書き間違えてましたので訂正。

誤>3.14xr^2xhx1/3=91000
正>3.14xr^2xhx1/3=9100


ところで、こんなページを見つけました。
http://www.shiojigyo.com/a040encyclopedia/encyclopedia2/encyclopedia2_1/

>比重
の項目。
>比重は2.16。ただし、サラサラした塩の、みかけの比重は食塩で約1.2です。

No.1さん、No.2さんが言われるように
塊でなく粒や粉だと隙間に空気が入ってる分軽いので、
それを加味するとこんな数字になるという事です。

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Q正四面体の内接球、外接球

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直線を引きそれを延長した場合、底面と直交するということがどうしてなのかわかりません
また内接球と外接球の中心が一致するというのも理解できません
ご教授お願いいたします

Aベストアンサー

説明すると長くなりそうなので考える手がかりだけを説明します。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

立体図形で (体積)'=表面積 の問題ですが,まず平面図形で (面積)'=周の長さ を考えてみましょう。

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中心から各辺までの距離(内接円の半径)を r として考えると
L=6√3r S=3√3r^2 → S'=6√3r=L  ○

一般の三角形で,内接円の半径を r,L=αr とすると
S=1/2rL=α/2r^2 → S'=αr=L      ○

すなわち,内接円の半径を基準に考えるとうまくいきます。なぜでしょうか。
三角形を拡大していくときに,相似の中心からすべての辺に垂直にかつ等距離になっているからです。

というわけで,円錐の場合,内接球の半径rで体積Vと表面積Sを表せば V'=S になるはずです。

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四面体のうちで、周囲の面積が一定のものの中で、体積が最大のものは 正四面体

この証明を教えてください。

Aベストアンサー

そんなに難しくないように思う。。。。。。?

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この証明は簡単だろう。
sinθは 0<θ<πにおいて上に凸関数関数だから、3つの角:α、β、γ に対して sinα+sinβ+sinγ≦3sin(α+β+γ)/3 が成立するから、最大値が求められる。
そこで、四面体の高さを変数にとって 体積の最大値を考える。
そのときに、周囲の面積が一定=上の3つの三角形の面積が一定 という条件がをどのように使うか、考えるところだろう。
時間がないから、ゆっくり考えられないんだが その方針で行けるように見えるんだが 駄目かな?

Q三角錐の体積

三角錐O-ABCと底面ABC上の点Xは、OA=2,OB=3,OC=4
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このとき、三角錐O-ABCの体積を求めよ。

普通は、三角錐の体積は、1/3×底面積×高さで求めるところだと
思うが、この場合は違うように思った。三角錐を3つに分割して考えるのでないかと
思ったが、2つの角度の条件をどう使うのか、分からなかった。

OX=kとして、余弦定理をもちいて、AX^2=2^2+k^2-2*2*k*cos30°
などとしてみても体積につなげることができず。
∠AOB=∠BOC=∠COA=θして、余弦定理をもちいて、AB^2=2^2+3^2-2*2*3*cosθ
としてみても、これまた他の条件とどう関連づければよいかわからず。
よろしく、アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

辺OA, OB, OC上に OA'=OB'=OC'=1 となる3点A', B', C'をとると、角度の条件より
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Q正四面体ABCDの頂点からおろした垂線と外接球の中心が同一直線上にある理由

辺の長さが3の正四面体ABCDの外接球の半径を求める数学の問題の解説で、
『外接球の中心をO、Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとしたとき
①AB=AC=AD
かつ②OB=OC=ODであるから対称性よりA、O、Hは同一直線上にある』
とあるのですが、①AB=AC=ADかつ②OB=OC=ODが言えると、なぜA、O、Hが同一直線上になるのかが分かりません。(感覚的にはわかるのですが…)

他の知恵袋等、インターネットで調べたところ、上記の対称性は回転対称性の事ではないか?という解答を見つけましたが、それはつまり
『①AB=AC=ADから言える事は、正四面体だから、各辺の長さが同じで、直角三角形の斜辺と他の一辺が等しいからBH=CH=DHとなりHは△BCDの外心と一致し、120°、240°と回転させると元の正四面体と重なる。
また、②OB=OC=ODから言えることは、Oは外接球の中心でありAOを軸に回転させると元の正四面体と重なる。』

という事であり、
結果、(正四面体の1つの頂点から考えて)同じように回転させて正四面体が一致する軸は1つしかなく、A、O、Hは同一直線上にあると言える、という理解で間違いないでしょうか?

また、正四面体の1つの頂点からの垂線上に、外接円の中心は存在するという事実は、問題を解く上で前提としても問題ないのでしょうか?

長く、分かりにくく申し訳ありません。ご回答、よろしくお願い致します。

辺の長さが3の正四面体ABCDの外接球の半径を求める数学の問題の解説で、
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『①AB=AC=ADか...続きを読む

Aベストアンサー

あまり難しく考えずに, 外接球の中心 O を xyz 座標空間の原点に, A を z 軸上の正の部分に取り,
それに合わせて B, C, D の座標を定めてはどうでしょうか.
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この問題は, ことばは悪いですが「ただの計算問題」なので,
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計算問題ということを考えれば, A, O, H が同一直線上にあることに関しては,
「対称性」ということばだけ添えて言及すればよく, 証明せずに使っても減点されないと思います.

Q展開図を作る練習するのに、一番カンタンなのは三角錐(さんかくすい)?

展開図を作る練習するのに、一番カンタンなのは三角錐(さんかくすい)?

正三角形を4枚、はりつけた形の
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一番、シンプルな形?

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また、さいころのような直方体だと、全ての面の形が同じ形なので、立体の場合と展開した場合とで、どこにどの面がきているのかがわかりにくいので、練習は立方体をおすすめします。
(過去に中学生に教えていたときの経験より)

Q正四面体の性質について 高校数学について質問です。 正四面体A-BCDがあるとして、「点Aから△BC

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高校数学について質問です。
正四面体A-BCDがあるとして、「点Aから△BCDに下ろした垂線が△BCDの中心を通り、△BCDの外接円の中心である」ということは、答案を書く際、証明しなければいけないことなのでしょうか?
それとも、自明であり証明不要なのでしょうか?

Aベストアンサー

「点Aから△BCDに下ろした垂線が△BCDの中心を通り、△BCDの外接円の中心である」
を証明しろ、という問題なら証明する必要があります。
上の文章が書かれていて、そこから何かを求めよ、という問題なら証明する必要はないと思います。
問題文が書かれていないのですが、実際の問題文から判断するしかないですね。


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