高一 数学 三角関数

問一

三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝３、ＣＡ＝４、角Ｂ＝２X、角Ｃ＝Xとする。
このとき、次の値を求めよ。

（１）cosX
（２）sinX
（３）ＢＣ


問二

０≦ｘ＜２πのとき、次の関数の最大値、最小値、またそのときのｘの値を求めなさい。

（１）y＝sin2乗x＋2√3sinxcosx＋3cos2乗x

（２）y＝3sin2乗＋4sinxcosx－cos2乗ｘ


ちなみに、答えは
問一の（１）2/3 (2)√5/3 （３）7/3 　　
問二の(1)MAXは4(x＝π/6と7π/6) MINは０(x＝2π/3と5π/3)
(2)MAXは2√2＋1(x＝3π/8と11π/8)、ＭＩＮは－2√2＋1(x＝7π/8と15π/8)

となっています。どうすれば、このような答えを導けるかできるだけ早く回答願います。

No.1 ベストアンサー 回答者： entap 回答日時： 2012/03/13 08:55

時間がないので問一だけ…結構いやらしい問題じゃないかと思います。

(1)
BC=aとおきます。
(また、今回はほとんど使いませんが、cosx=kとおくと、cos2x=2k^2-1です。)
さて、素直に余弦定理で解こうとすると、
9=16+a^2-8ak
16=9+a^2-6a(2k^2-1)
の連立方程式を解くことになりますが…これはちょっと面倒くさそうですね。
そこで、別のアプローチを考えます。

Aから辺BCに垂線AHを引きます。
すると、AH=3sin2x=4sinx、と比較的素直な値で出てくれます。
加法定理から、3sin2x=6sinxcosxですから、
6sinxcosx=4sinx
xは３角形の一角なので、x>0です。両辺をsinxで割れ、
cosx=2/3となります。

(2)
sinx=(1-cos)^1/2ですね。
素直に演算して、(√5)/3。

(3)
余弦定理から求めようとすると、これまた変なことになります。
最初の垂線を利用しましょう。
BC=3cos2x+4cosxです。
cosx=2/3ですから
これを利用。
BC=3(2k^2-1)+4k
=7/3、となります。

余弦定理だと変数が2つになり、計算がややこしいので、変数が一つだけになるように工夫しよう、という問題でした。

No.4 回答者： entap 回答日時： 2012/03/13 12:50

#1です。

#1の内容は質問に相応しくないため、無視してください(数学的に美しくない回答です)。
#3の方のように正弦定理をご利用ください。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/13 11:53

ＢＣ＝a、∠Ｂ＝２θ、∠Ｃ＝θ、∠Ａ＝π-3θ　より正弦定理から　sin(π-3θ)＝sin3θを使うと

(a)/(sin3θ)＝(4)/(sin2θ)＝(3)/(sinθ)
後ろの2項から、cosθ＝2/3.　sinθ＞0より　sinθ＝√(1-cos＾2θ)。
前の2項から、a*sin2θ＝4*sin3θ →　2a*cosθ＝4(3-4sin＾2θ)

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/13 09:06

質問番号：7359071の方に既に回答済みですのでそちらをご覧下さい。