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A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
#3です。
ちょっと間違いが。
ルートが抜けてました。
sinθ-cosθ=√2-1
sinθ+cosθ=±√(2√2-1)
sinθ=(√2-1±√(2√2-1))/2
同値性の問題はたしかにありますが、
-1≦sinθ≦1, -1≦cosθ≦1 などを確認しながら解いていって、
最終的に求めた解が、条件を満たすかどうか確認する必要があるでしょう。
sinθcosθ=sinθ-cosθ の2乗については、
sinθcosθ=±√2-1 となりますが、-√2-1 は不適なので、
sinθcosθ=√2-1 だけになり、問題ないかと。
>1+sinθ=tanθ=sinθ/cosθ
>からcosθ=sinθ/(1+sinθ)
>をsin^2θ+cos^2θ=1に代入する方針ではうまくいかないのでしょうか。
sin^2θ+sin^2θ/(1+sinθ)^2=1
sinθ=x とすると、
x^4+2x^3+x^2-2x-1=0
となりますが、この4次方程式を解くのは難しいでしょうね。
別の方法として、
sinθcosθ=√2-1
から、
sin2θ=2√2-2
cos2θ=±√(1-(2√2-2)^2)=±√(8√2-11)
sin^2θ=(1-cos2θ)/2=(1±√(8√2-11))/2
sinθ=±√((1±√(8√2-11))/2)
答が4つ出てきますが、このうち2つが不適で、
sinθ=√((1+√(8√2-11))/2)、-√((1-√(8√2-11))/2)
のみが解となります。
質問欄の解と違っていますが、同じ値です。
No.3
- 回答日時:
1+sinθ=tanθ=sinθ/cosθ
sinθcosθ=sinθ-cosθ
sin^2θcos^2θ=(sinθ-cosθ)^2=1-2sinθcosθ
sin^2θcos^2θ+2sinθcosθ+1=2
sinθcosθ=√2-1
(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθ=2√2-1
sinθ-cosθ=√2-1
sinθ+cosθ=±(2√2-1)
sinθ=(√2-1±(2√2-1))/2
(2)は同じ要領で
(3)は、両辺を自乗してcosθだけの式にすれば、cosθの4次式になる。
cosθ=-1はすぐ分かるから、残りの3次方程式はカルダノの公式などを使って解く。
ありがとうございます。
意外にたいへんでおどろきました。
1+sinθ=tanθ=sinθ/cosθ
からcosθ=sinθ/(1+sinθ)
をsin^2θ+cos^2θ=1に代入する方針ではうまくいかないのでしょうか。
また、頂いたご回答で、
sinθcosθ=sinθ-cosθ
を2乗するときの同値性もきになっております。
(3)においても、2乗するときの同値性は考えなくてよいのでしょうか。
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