N以下の自然数からできる部分集合

N以下の自然数(1-N)の集合Sからできるk個要素を含む部分集合Tの個数を数列であらわしたい(
k=2のとき
Σ(i=1～n) n-i
のように）
ただ3以降がいまいち思いつきません。　こういう風にあらわすのは無理なのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2012/03/23 14:37

「N以下の自然数(1-N)の集合Sからできるk個要素を含む部分集合Tの個数」は N個中からk個取る「組み合わせ」(combination) NCk = N!/(k!/(N-k)!)です(!は「階乗」)。

　これが「級数」（数列の総和）
　　S(N,k)=Σ{i=1～N} f(i,k) = NCk
の形になるように数列f(i,k)を定めたい、というご注文であろうかと。何でそんなことをしたいのか分かりませんけどね。

　とりあえず i≧k≧1の場合を考えると
　　f(i,k) = S(i,k)-S(i-1,k)
でなくちゃいけない。そして、S(N,k)=NCkなのだから、
　　f(i,k) = iCk -(i-1)Ck
そこで、「パスカルの三角形」
　　nCk =1 (k=0またはn=kのとき）
　　nCk =(n-1)C(k) + (n-1)C(k-1)　　(1＜k＜nのとき)
を使えば、iCk = S(i,k)なので、
　　S(i,k) - S(i-1,k) = iCk -(i-1)Ck = (i-1)C(k-1) = (i-1)!/((k-1)!/(i-k)!)

　まとめると、i＞0, k＞0について、
　　f(i,k) = k＜i, i＞1のとき　 (i-1)!/((k-1)!/(i-k)!)
　　　　　k=iのとき　　1
　　　　　k＞iのとき　　0
かな。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/03/23 11:55

あなたのいう「数列で表す」の意味が分かりません.

Σ(i=1～n) n-i
だって「数列」じゃない.

この回答へのお礼

数列の和でよろしかったでしょうか。。。

お礼日時：2012/03/23 12:02

No.1 回答者： f272 回答日時： 2012/03/23 11:29

要するに

nCk
ということ？

この回答への補足

数列の和です

補足日時：2012/03/23 11:43

この回答へのお礼

それって数列であらわせますか？

お礼日時：2012/03/23 11:43