重積分の問題

(1)∫∫D xy/(x^2+y^2)^3 dxdy D={(x,y)|x≧1,y≧1}
(2)∫∫D x^2e^-(x^2+y^2)dxdy D={(x,y)|x≧0,y≧0}
の解き方が分かりません。どなたかご教授願います。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/27 12:10

A#1の(1)で、

極座標に変換した時の積分の範囲がおかしいようです。
なので結果もおかしくなっているようです。
(2)の結果は正しいようです。

(1)の重積分は以下のように計算すると「1/16」なります。
D={(x,y)|x≧1,y≧1}
I=∫∫[D] xy/(x^2+y^2)^3 dxdy
=limit[X1→∞]∫[1,X1]xdx limit[Y1→∞]∫[1,Y1] y/(x^2+y^2)^3 dy
=limit[X1→∞]∫[1,X1]xdx limit[Y1→∞] [-(1/4)(x^2+y^2)^(-2)] [1,Y1]
=(1/4)limit[Y1→∞] limit[X1→∞]∫[1,X1] {x(1+x^2)^(-2)-x(x^2+Y1^2)^(-2)} dx
=(1/4)limit[Y1→∞] limit[X1→∞] [-(1/2)/(1+x^2)+(1/2)/(x^2+Y1^2)] [1,X1]
=(1/8)limit[Y1→∞] limit[X1→∞] [-1/(1+x^2)+1/(x^2+Y1^2)] [1,X1]
=(1/8)limit[Y1→∞] limit[X1→∞] [(1/2)-1/(1+X1^2)+1/(X1^2+Y1^2)-Y1/(1+Y1^2)]
=1/16

この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/27 20:21

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/27 14:08

(2)は、重積分として普通に収束する。

だからこそ、様々な式変形が許される。
与式 = {∫x^2 e^(-x^2)dx}{∫e^(-y^2)dy}
なども、そのひとつ。
∫e^(-y^2)dy は、いわゆるガウス積分。
∫x^2 e^(-x^2)dx のほうは、部分積分
すれば計算できる。
主値積分の登場する余地は無いようだが…

この回答へのお礼

収束すれば、式変形できるのですね。回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/27 20:23

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2012/03/27 05:18

プロフィールを見て・・・、（書いてある事に偽り無いとすると・・・）

14才でこんなに難しい積分の計算をするのかいな・・・？？

∫∫D xy/(x^2+y^2)^3 dxdy D={(x,y)|x≧1,y≧1}
(積分は存在して)
= ∫[1,∞)∫[1,∞){xy/(x^2+y^2)^3} dxdy
= lim(R→∞)∫[0,R){r^-3}dr∫[0,π/2]{sinθ・cosθ}dθ
= 0

∫∫D x^2e^-(x^2+y^2)dxdy D={(x,y)|x≧0,y≧0}
(主値を取って・・・)
∫[0,∞)∫[0,∞){x^2・e^-(x^2+y^2)}dxdy
= π/8

この回答へのお礼

重積分は学びました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/27 20:20