三角関数の極限

(1)lim[x→π/2]2x-π/cosx
(2)lim[θ→0]1-cos3θ/θ^2
これらの計算過程も含めて教えてくださいm(_ _)m

No.5 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/04/08 22:44

＞(1)lim[x→π/2]2x-π/cosx

ｔ＝ｘ－π/2とおくと、ｘ→π/2のときｔ→０，２ｘ－π＝２ｔ，cosｘ＝cos（ｔ＋π/2）＝－sinｔ
＝lim［ｔ→０］２ｔ／（－sinｔ）
＝lim［ｔ→０］（－２）（ｔ／sinｔ）
＝－２

＞(2)lim[θ→0]1-cos3θ/θ^2
２倍角の公式より、１－cos{2・(3θ/2)}＝２sin^2(3θ/2)
＝lim［θ→0］２sin^2(3θ/2)／θ^2
＝lim［θ→0］２・（3/2)^2・｛sin(3θ/2)／(3θ/2)｝^2
＝２×（９／４）
＝９／２

でどうでしょうか？

この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/09 23:03

No.6 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/04/08 22:46

ロピタルを使うのはお勧めしない．

高校数学だったらロピタルはご法度かもしれないし
かといって大学だったら素直に展開すればいいだけの話

(1) y=2x-πとおけば
(2x-π)/cosθ = -y/sin(y/2)
x->π/2 のとき y->0
ってことですぐできる

答え -2

(2)
cos(3θ)=1-2sin^2(3θ/2)（半角の公式）
を使えば
(1-cos(3θ))/θ^2 = 2sin^2(3θ/2)/θ^2

sin(t)/t -> 1 (t->0)にあわせれば
答えは 9/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/09 23:02

No.4 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/04/08 22:44

(1) t = x-π/2とおくと

lim[x→π/2](2x-π)/cosx = lim[t->0]2t/cos(t+π/2) = lim[t->0]2t/(-sint)
= -2lim[t->0]t/sint =1/(lim[t->0]sint/t) = -2

(2)1-cos3θ = 2sin^2(3/2θ)なので
im[θ→0](1-cos3θ)/θ^2
= lim[θ→0]2sin^2(3/2θ)/θ^2　　　　(a)
x = 3/2θとおくと
(a) = lim[θ→0](3/2)^2*2sinx^2/x^2
= 9/2*lim[θ→0]sinx^2/x^2
=9/2*{lim[θ→0]sinx/x}^2 = 9/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/09 23:02

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2012/04/08 22:37

(1)p=π/2-x

lim[x→π/2]2x-π/cosx=lim[p→0]2p/sinp=lim[p→0]2/cosp＝2

ロピタルの定理
[lim[x→0]f(x)/g(x)=lim[x→0]f'(x)/g'(x)]
による。

(2)lim[θ→0]1-cos3θ/θ^2=lim[θ→0]3sin3θ/2θ=lim[θ→0]9cos3θ/2=9/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/09 22:51

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/08 22:24

(1)lim[x→π/2](2x-π)/cos(x)

=lim[x→π/2] 2/(-sin(x)) ←　ロピタルの定理適用
=-2

(2)lim[θ→0](1-cos(3θ))/θ^2
=lim[θ→0] 3sin(3θ))/(2θ) ←　ロピタルの定理適用
=lim[θ→0] (9/2)sin(3θ))/(3θ)
=9/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/09 22:51

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/08 22:17

(1) x-(π/2)=y で変数変換して、

　　sin の基本公式に持ち込む。
(2) cos をマクローリン展開する。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/09 22:50