数学の二次不等式で全くわからない問題があります！

Question

aを1より大きい実数とするxの不等式x^2-(3a+1)x+2a(a+1)≦0について、この不等式を満たすxの整数値がただ１つ存在するようなaの範囲を求めよという問題が答えの解説を見ても全くわかりません。ちなみに答えは3/2≦a<2または2<a<5/2です。

この式を満たすxは1<aよりa+1≦x≦2a、また3≧aだとa+1≦x≦2aを満たすxの整数が２個以上になってしまうので3>aでaの範囲は1<a<3というところまでは理解しているつもりです。
1<a<3から2<a+1<4ここからxが整数になる場合は3,4とあるのですがどのように３，４が導かれているのか、さらに５はなぜダメなんでしょうか？
５がなぜダメなのかと思った理由は1<a<3から2<2a<6と変形して2aの範囲に整数３，４，５があるじゃん！と考えたからです。
また、答えの解説にa+1≦x≦2aを満たす整数がただ一つ存在するとすれば、それはx=3のときであるから3≦2a<4とあるのですがこれもどういう意味か全くわからないですし、場合分けが1<a<2と2<a<3で区切られているのもわからないです。x=2はどこにいったのでしょうか？

助けてください！本当にちんぷんかんぷんなんです！お願いします！

kacchann · Accepted Answer

視覚的に見ることです。

ということで、
厳密な証明はともかく、
まず「グラフ」です。

左端がa+1, 右端が2aだよね？
この間のなかにxがあるんだよね。
つまりこの間のなかに整数点が含まれているか見ていけばいいんだよね。

ということで、
とりあえず、
y=a+1, y=2aのグラフかきます。2本。
でその2つのグラフの縦方向の間をみてくださいな。

mister_moonlight · Answer

確かに、この手の問題としては　いやらしい問題ではある。
しかし、そんな時に絶大な威力を発揮するのは　座標。それを使えば　簡単に分かる。

条件式を因数分解すると　(x-2a)*(x-a-1)≦0。ここで、y＝aとすると　(x-2y)*(x-y-1)≦0。
よって、x-2y≧0、x-y-1≦0、or、x-2y≦0、x-y-1≧0の2つの場合がある。
それを　xy平面上に図示すると、y＝a＞1から　x-2y≦0、x-y-1≧0　の場合を考えるだけでよい。
そこで、その領域に対して　x軸に平行な直線：y＝aを動かしてやる。
そうすると、xの整数値が1つであるのは　Ａ(3、3/2)、Ｂ(7/2、5/2)の間である事は自明。
但し、y＝a＝2の時は　整数値が2つになるから除外する。同時に、y＝a＝5/2の時も2つあるから除外する。

(注)
y＝aが条件を満たすのは、Ａ(3、3/2)、Ｂ(7/2、5/2)の間である事の理由は、座標を睨んでると分かるはず。
y＞2の時と　y＜2の時とに　分けた方が分かりやすいかな？

ferien · Answer

aを1より大きい実数とするxの不等式x^2-(3a+1)x+2a(a+1)≦0について、この不等式を満たすxの整数値がただ１つ存在するようなaの範囲を求めよという問題が答えの解説を見ても全くわかりません。
＞ちなみに答えは3/2≦a<2または2<a<5/2です。
x^2-(3a+1)x+2a(a+1)≦0より、
（ｘ－２ａ）｛ｘ－（ａ＋１）｝≦０
ａ＞１より、ａ＋１＞２，２ａ＞２　また、
２ａ－（ａ＋１）＝ａ－１＞０より、２ａ＞ａ＋１だから、
ａ＋１≦ｘ≦２ａ　……（１）
１）２＜ａ＋１＜３のとき、１＜ａ＜２だから２＜２ａ＜４
（１）より、ａ＋１と２ａがこの範囲で、ｘ＝３ただ１個を解にもつには、
３≦２ａ＜４であればいいから、このとき、（３／２）≦ａ＜２

２）ａ＋１＝３のとき、ａ＝２だから、２ａ＝４
（１）より、３≦ｘ≦４，このとき、ｘ＝３，４で解が２個だから、不適

３）３＜ａ＋１＜４のとき、２＜ａ＜３だから、４＜２ａ＜６
（１）より、ａ＋１と２ａがこの範囲で、ｘ＝４ただ１個を解にもつには、
４＜２ａ＜５であればいいから、２＜ａ＜（５／２）

ａ＋１の範囲を決めると、２ａの範囲が決まるから、ｘの整数解を１個だけ持つように
２ａの範囲を求めれば、ａの範囲が求まります。

でどうでしょうか？数直線を描いて考えてみて下さい。

kacchann · Answer

#1です。

本の方法は、はっきりわからないんだけど、
左端をカメ、右端をウサギとして、
まず、左端(かめ)の位置を調べてるのかな？

2<カメの位置<4
(ようするにカメはすくなくとも4未満の位置にある)

これが大前提ね。
ということは、
この条件下で、
「ウサギとカメの間に整数点を1個もつのだとしたら」、
それは整数点3か4かのどっちかのはずだ、
ということだよね？
(整数点5まで含んだら「1個」じゃなくなる。数直線かいてみて)

あとは場合わけじゃないかな。
整数点3のみ含むときと、4のみ含むとき。

・整数点3のみ含む条件は
2＜かめの位置≦3≦ウサギの位置＜4
(数直線を書いてみよ)

・整数点4のみ含む条件は、
3＜かめの位置≦4≦ウサギの位置＜5

かな？？(数学にあんまり自信がないので間違ってたらごめん)
---

もしくは、その解答の最後の場合わけは，
2<カメの位置<3
3<カメの位置<4
カメの位置＝3

の3つに
場合わけしてるのかも。
一度に考えるより考えやすいかも。
(「カメの位置＝3」の場合は、カメが整数点に一致するときなので、
他の2つの場合とはちょっと状況ががことなるっぽい予感がして
これを別に分けたのかも)

数学の二次不等式で全くわからない問題があります！

視覚的に見ることです。

確かに、この手の問題としては いやらしい問題ではある。

aを1より大きい実数とするxの不等式x^2-(3a+1)x+2a(a+1)≦0について、この不等式を満たすxの整数値がただ１つ存在するようなaの範囲を求めよという問題が答えの解説を見ても全くわかりません。

#1です。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

確かに、この手の問題としては　いやらしい問題ではある。