実質微分の定義

ナビエ・ストークスの式の導出に当たり

…これら3方向の運動量の式は一括してベクトルの式として書くことができる。

∂(ρu)/∂t＋∇・ρuu＝-∇p＋∇・τ＋ρg　…(＊)(注：τ,g,および3つのuは太字，つまりベクトル)

左辺を展開して連続の式を用いると次式が得られる。(注：連続の式　∂ρ/∂t＋∇・(ρu)＝0)

ρDu/Dt＝-∇p＋∇・τ＋ρg　…(＊＊)

とテキストにあります。右辺が変わっていないので左辺がいずれも等しいはずなのですが

実質微分の定義を使ってρDu/Dtを普通の微分で表しても∂(ρu)/∂t＋∇・ρuuになりません。(＊)式は検査体積の運動量保存を考えることで出てきます。つまり，検査体積内の運動量変化は流入する流体の持つ運動量と圧力・応力による表面力，体積力の力積の合計として導かれます。導出過程を見ても恐らく(＊)はあっているような気がします。ということは(＊＊)が間違っている？

ナビエ・ストークスの式の導出がわかる方は(＊)か(＊＊)のどちらが間違っているのでしょうか？(＊＊)のτにニュートン流体の応力テンソルを代入するとナビエ・ストークスの式が出てくるはずなのですが，(＊＊)が間違っていれば正しいナビエ・ストークスの式は導かれませんし，あっているなら反対に(＊)が間違っているということになると思います。

それとも(＊)と(＊＊)は同値なのでしょうか。何度計算してもうまく変形できないのですが。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： heboiboro 回答日時： 2012/05/07 08:50

∂(ρu)/∂t + ∇・(ρuu)

= u∂ρ/∂t + ρ∂u/∂t + u(▽・ρu) + (ρu・▽)u
連続の式より第一項と第三項の和はゼロなので、
= ρ∂u/∂t + ρu・▽u
= ρDu/Dt

連続の式を使うのがみそですね