4x-3y=20……(1) を満たす整数x,yの組を求

4x-3y=20……(1) を満たす整数x,yの組を求める。
x=5,y=0は(1)を満たしており(1)は
4(x-5)=3y
と変形できる。
4と3は互いに素より，kを整数としてx-5=3kより，y=4kとなり
x=3k+5，y=4k
と表すことができる。


といった文章中に出てくる、「4と3は互いに素より…」というところは、何を表しているんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/05/11 01:45

もうちょっと行こうかな？

Ｎｏ．１さんので質問の答えは終わっています。

「１以外に共通の約数を持たない」つまり

「最大公約数が１の数　の組み合わせ」のことです。


こういう数にはいくつかの性質がありますが、もしかすると今後役に立ちそうなものだけ。

１つだけ。


ｐ、ｑ　が互いに素なら、ａｐ＋ｂｑ＝１　となる、（ａ，ｂ）の組み合わせが存在する。


という定理があります。

　＃気になったら、ユークリッドの互除法というので調べてみて？


この場合、３，４　ですから、　

３×（－５）　＋　４×　４　＝　－１６　＋１５　＝１　ですね。

この一組しかありません。　（これは一意性）


こういうところは面白いですよ。　元代数学の非常勤でした　ｍ（＿　＿）ｍ

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.5 回答者： noname#153926 回答日時： 2012/05/11 11:02

互いに素の意味ではなく「4と3は互いに素より，kを整数としてx-5=3kより，y=4kとなり」の意味を説明します

4(x-5)=3yを書き直すと4×(x-5)=3×yになります このとき、左辺は4の倍数で右辺は3の倍数になります(4や3がかけてあれば4の倍数や3の倍数に殆どの場合なります 今回xとyは整数なので必ず4の倍数と3の倍数になります) しかし、普通は4の倍数と3の倍数は一致しません 4の倍数と3の倍数が一致するのは実は4の倍数も3の倍数も12の倍数でした というときだけです
だから4×(x-5)=3×yの4×(x-5)と3×yはどちらも12の倍数です
4×(x-5)が12の倍数となるのは、x-5が3の倍数のときだけです 3の倍数というのは3×なにかの整数です このなにかの整数をkと置くと3の倍数は3kと表せます x-5も3の倍数なのでx-5＝3kとなります
同様に3×yが12の倍数となるのはyが4の倍数のとき、4の倍数は4kなのでy＝4kとなります
話を変えて、例えば4(x-5)＝12yという数式があるとします 変形すると4×(x-5)＝4×3y このときx-5と3yは何の倍数でもいいので、2kとか3kとかで置けません(補足ですが両辺を4で割ってx-5＝3yとしてもx-5＝3kとしか置けません、x-5の方は掛け算になってないので)
だから質問者さんの問題では最初に互いに素であることを確認してから倍数で置いたのです
分かりづらかったでしょうか？まだ何か質問があればお答えします

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2012/05/11 09:08

言葉で引っかかるのであればそういう言葉を使わないでやればいいです。

４(ｘ－５)＝３ｙ
ｘ－５＝３ｙ／４
左辺が整数ですから右辺も整数でなければいけません。
３ｙが４の倍数になっているはずです。３と４は約することができませんのでｙが４の倍数であることが分かります。ｙ＝４ｋ（ｋ：整数）です。これをもとの式に代入します。
ｘ－５＝３ｋ
ｘ＝３ｋ＋５
になります。

これなら回答に頼らなくても普通に自分の力でできることではないでしょうか。
「３と４は約することができない」と書いたところが「互いに素」と書いていることと同じなのです。

※ｘ＝５、ｙ＝０　が解であるということを書く必要はありません。
それが解であることを知っていなければ最初の変形が出来ないのではないからです。
問題のイメージを取るということでは役に立ちます。検算の役にも立ちます。

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/05/11 01:46

ゴメン、逆でした！

　－１６　＋　１５　を

－１５　＋　１６　＝１　と訂正してください。

すいません。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.1 回答者： picknic 回答日時： 2012/05/10 22:49

1以外の共通の約数を持たないということです。