数学の、集合・位相空間に関する質問です

数学の、集合・位相空間に関する質問です

「Prove that the set of all real functions defined on the closed unit interval has cardinal number 2^c」

簡単に訳すと、
閉区間集合上で定義される全ての実関数の基数が2のc乗であることを示せ。

閉区間の濃度が2のc乗であることを示せという事だと思うんですが、この証明が難しくて出来ません。教えてもらえないでしょうか。
cは、連続体の基数。つまり、実数集合Rのcardinal number を示しているようです。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/06/26 08:56

うん，確かに訳も微妙なところがなんだし

>閉区間の濃度が2のc乗であることを示せ

こんなことどこに書いてないし，そもそも閉区間の濃度は2^cじゃないのは
かなりの基本事項だと思う．

この問題は
実数に付随するある有名な集合で
（この集合自体は任意の集合に対して構築できる）濃度が2^cであるものと
閉区間[0,1]（closed unit intervalっていってるから
本当は[a,a+1]タイプかもしれんが，[0,1]でも一般性を失わない．
本当に一般性を失わないかは比較的に簡単に示せる）
での実関数全体の集合（連続とかいってないのが重要）が
同じ濃度であることを示すってことでOKでしょう．

この回答へのお礼

問題文の解釈を教えてくださってありがとうございます.

イメージとしては,
実数関数全体の集合が, [0, 1]上での集合族で,
[0, 1]の濃度がRと同じcであるから,
その集合族は2^cである.

といった感じかと思ったんですが, 2^cである集合の濃度とは「濃度がcである集合族の濃度」という解釈なのでしょうか.

お礼日時：2012/06/26 12:01

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/26 00:18

「簡単に訳した」結果が微妙に違うし, この質問は「閉区間の濃度が2のc乗であることを示せ」などと言ってないよ.... ってか, 「閉区間の濃度」ってなんだ.

ところで, 濃度が 2^c であるような集合を知りませんか?

この回答へのお礼

返信ありがとうございます.
もう少し問題文の理解に努めます.

>>ところで, 濃度が 2^c であるような集合を知りませんか?
2^cは聞いたことがありません….
任意の有限集合に対するクラスが2^nであることは分かるのですが, それを無限集合で捉えたものでしょうか？

お礼日時：2012/06/26 11:55