写像

線形空間Ｖ＝｛ax^2+bx+c |a,b,c€R｝
fは線形空間V上の線形変換であり、
f(1+x)=1,f(x+x^2)=x,f(1+x^2)=x^2としたとき、
線形写像fが単射であることを示し、次元定理の成立を
直接的に示せ。
という問題内容なのですが、証明が苦手なもので
解答に困っています。
どのように解答すればよいでしょうか？

No.4 回答者： koko_u_u 回答日時： 2012/06/30 11:12

なんか微妙な問題だな。

>fは線形空間V上の線形変換であり、
>f(1+x)=1,f(x+x^2)=x,f(1+x^2)=x^2としたとき、

と書かれた時に回答者は

・実はそのような f は存在しない
・この条件で f がユニークに決まる
・この条件では f は複数存在する可能性がある

のいずれかをまず考えなければならず、本質的ではないなぁ。

次元定理を回答者に直接確かめさせたいのであれば、線型写像fの定義はもっとシンプルに
f(1) = 1 + x
f(x) = x + x^2
f(x^2) = 1 + x^2

のようにして、単射性と全射性を確かめさせるのが妥当な気がするよね。

No.3 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/06/29 18:57

ax^2+bx+c = α(x^2+1)+β(x^2+x)+γ(x+1)

として、α、β、γをa、b、cで表せばいいんじゃない。

行列を使えば、y = t[α β γ]、x = t[a b c]　　　（tは転置行列の意味）
Ay = x
Aの一行目は[1 1 0]、２行目は[0 1 1]、３行目は[1 0 1]かな。
（ちゃんと計算してよね。頭の中で計算しているから、間違っているかもしれないよ）
Aの行列式の値は１でゼロじゃないから、xとyの対応は１対１。（全単射か....）
y = (A^-1)x

f(ax^2+bx+c) = f(α(1+x^2)+β(x+x^2)+γ(1+x)) = αf(1+x^2)+βf(x+x^2)+γf(1+x)
=αx^2+βx+γ
になるしさ。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/29 17:20

「単射であること」の証明は, 「単射の定義を満たす」ことを言うだけです.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/29 11:48

「どこまでできているのか」「どこで困っているのか」を書いてください.

この回答への補足

単射であることの証明から
わからないので先にすすめていないのですが

補足日時：2012/06/29 13:07