単振動

滑らかに動く質量Mのピストンがついた容器の中に気体が入っている
容器の断面積をS、大気圧をP0とする
気体ははじめ圧力P0で長さLの部分を占めている
気体の温度は一定とする
(1)ピストンを少し押し込んで放すと、ピストンは振動を始める
その周期を求めよ
|x|＜＜Lなので1に比べて|x|/Lは無視してよい


解き方を教えてください！

※添付画像が削除されました。

No.1 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2012/07/21 17:23

ピストンに作用する力が復元力

　Ｆ＝－ｋ・ｘ　　式（１）
（釣り合いの位置からの変位ｘに比例する大きさで、変位と逆向きに働く力）であることを導きます。
（１）の左辺は、運動方程式から
　Ｆ=ｍ・d(dｘ/dt)/dｔ
と書けるので（１）は
　ｍ・d(dｘ/dｔ)/dｔ＝－ｋ・ｘ　式（２）
と同じものです。ところで、単振動している物体の変位ｘを表す一般式
　ｘ＝Ａ・sin(ωt＋δ） 式（３）
ここで、Ａは振幅、ωは角振動数、δは初期位相　です。　
（３）は、（２）を満足していますから、復元力を受けている物体は単振動することがわかります。
実際に（３）を（２）に代入してみると
　ｍ・d(dｘ/dｔ)/dｔ＝ｍ・（－ω^2)・Ａ・sin(ωt＋δ）
　＝－ｋ・ｘ＝－ｋ・Ａ・sin(ωt＋δ）
整理して
　ｍ・ω^2＝ｋ
となりますから
　ω＝√(ｋ/ｍ)
∴　Ｔ＝2π/ω＝2π√(ｍ/ｋ)
と、角振動数も周期も、式（１）のｋと、質量ｍ　だけで表現できます。
　
本題に戻ります。
図のピストンに働いている力を調べてみますと
　重力　Ｗ＝ｍｇ
　容器の上,下面からの垂直抗力　Ｎ
ピストンは上下に動きませんから、これらの力は釣り合っていて合力０として良いはずです。
水平方向の力は
　大気圧による力　Ｆ'　大きさ＝外気圧・ピストンの断面積＝Ｐ0・Ｓ　で、右向き
　閉じ込められている気体からの力　ｆ　大きさは、「気体の圧力・ピストンの断面積」で、変動する値で、常に左向き
の３力であることがわかります。
　
閉じ込められている気体ですが、温度が一定、(閉じ込められていますから)気体の物質量も一定、(文章には書かれていませんでしたが、この手の問題では、気体は理想気体と考えて良いはずですから)、ボイルの法則が成り立ちます。ピストンの変位がｘ(右向き正とします)であるときの、気体の圧力をＰとすると
　Ｐ0・(Ｌ・Ｓ）＝Ｐ・(Ｓ・(Ｌ－ｘ))
ですから
　ｆ＝Ｐ・Ｓ＝Ｐ0・Ｌ・Ｓ/(Ｌ－ｘ)
　＝Ｐ0・Ｓ・{１/(１－(x/L))}
　＝Ｐ0・Ｓ・(１－(x/L))^(-1)
ここで
　|x|/L<<1
ですから、1>>α　のとき
　(1+α)^n＝１＋ｎα
という近似式を使えて
　ｆ＝Ｐ0・Ｓ・(１＋(x/L))
として良いことがわかります。
ピストンに働く合力を評価すると、水平方向の合力だけが問題になります。右向きを正として、ピストンの変位がｘのとき
　合力＝Ｆ－ｆ
　＝Ｐ0・Ｓ－Ｐ0・Ｓ・(１＋(x/L))
　＝－(Ｐ0・Ｓ/Ｌ)・ｘ
ここで　Ｐ0・Ｓ/Ｌ　を　ｋ　と置くと
　合力＝－ｋ・ｘ
となり、ピストンに働く力（合力）は復元力であることがわかりました。

この回答への補足

ありがとうございます！
ほとんど分かったのですが、大気圧は水平方向からも力を加えるのではないのですか？

補足日時：2012/07/21 22:46

No.3 回答者： Quarks 回答日時： 2012/07/22 15:22

>重力と垂直抗力の釣り合いだけでよいのでしょうか？ということが言いたかったんです

鉛直方向の力関係ですね。
出題の意図(ピストンが単振動するということ)を考えれば、ピストンと容器壁との間には摩擦力が働いていない状況だと判断できます。
もし、動摩擦力が働いているのなら、ピストンの振動は、"減衰振動"の一種になりますが、かなり複雑なものになります。そこまでは問われていないと思います。（問うなら、もっと条件設定が書かれているはずです）

摩擦力が問題にならないなら、鉛直方向の力がピストンの運動に影響を与えることはありません。

この回答へのお礼

わかりました
ありがとうございました！

お礼日時：2012/07/22 15:24

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2012/07/22 10:23

AN0.1です

>大気圧は水平方向からも力を加えるのではないのですか

その通りですよ。

ピストンに対して、　水平方向から…　という意味ですよね？
質問に添付されている図は、90°回転された状態だと判断して、図で言えば上から下に向かう向きが左向きになるものとして回答しました。

　ピストンに働く合力を評価すると、水平方向の合力だけが問題になります。
　右向きを正として、ピストンの変位がｘのとき
　　合力＝Ｆ－ｆ

として、大気圧からの力Ｆを考慮していましたよ。

この回答への補足

すみません、水平と鉛直を間違えました
重力と垂直効力の釣り合いだけでよいのでしょうか？ということが言いたかったんです

補足日時：2012/07/22 10:38