1/x+1/y+2/z=1を満たす自然数解

をすべて求めよ　という宿題が出ました
教えていただけないでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/08/24 09:56

考え方を書いとくから、計算は自分でやって。

1/x+1/y+1/z=1を満たす自然数解 をすべて求めよ　という問題をやった事がないだろうか？
現在では、整数値の問題としては　standardになっている。

x、y、zは平等から　x≧y≧z≧1　としても　一般性を失わない。
よって、1/x≦1/y≦1/z　だから　1＝1/x+1/y+1/z≦3/z　だから　z≦3.
ここで、z＝1と2と3の各々の場合の不定方程式を解いて　xとyの整数値を求める事になる。

この問題のいやらしいところは　1/x+1/y+1/z=1　ではなくて　1/x+1/y+2/z=1であるところ。
従って、x、y、zは平等から　x≧y≧z≧1　としても　一般性を失わない、というわけには簡単には行かないところにある。
しかし、考え方で、その方法が使えなくはない。

(1)　zが3つの数の中で、最小のとき。　但し、xとyの大小はどうでも良い。
1/x≦1/y≦1/z　だから　1＝1/x+1/y+2/z≦4/z　より　z≦4.
・z＝4の時　条件式は　　xy＝2x+2y　→　(x-2)*(y-2)＝4。x-2≧-1、y-2≧-1　だから　4＝1×4、2×2より　(x-2、y-2)＝(4、1)、(2、2)
・z＝3の時　条件式は　　xy＝3x+3y　だから同じようにできる
以下、z＝1、2　の場合も同じようにやる。

(2)　xが3つの数の中で、最小のとき。　但し、zとyの大小はどうでも良い。

(1)と同じようにやるだけ。

(3)yが3つの数の中で、最小のときも同じ

但し、注意する必要があるのは、(1)で(2)でも(3)でも　最小の値は決まっているが、残りの2つは入れ替えが可能。
つまり、(1)において(x、y)＝(6、3)、(4、4)だが　(x、y)＝(3、6)も解ということ。

この回答へのお礼

ありがとうございます
やってみます！！

助言ありがとうございます
分かりやすかったです！

お礼日時：2012/08/24 21:18

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/08/24 07:38

宿題は自分でやらないといけないよ。

ここの解答を書いたらクラス全員が丸写しして同じ解答を提出したらどうなるか考えてごらん。
宿題の締め切り後は先生が解答を教えてくれるからそれを待つのもいい。
さもなくば、分からないなりに自分で考えよう。出来るところまで解答作成して、ここから分かりません。と書いて宿題を提出してもいいではないかと思う。

ヒントだけ
1/x+1/y=1-2/z>0 より　z≧3
1/x+1/y=1-2/z＜1　より x,y≧2
x,yは交換可能。
の条件の下で
1/x+1/y=1-2/z
の式を満たすx,yをz=3,4,5,6, ..
と変えて行って、見つけて行ってください。
自然数の組(x,y,z)が全部で15通り見つかるでしょう。

この回答へのお礼

あいがとうございます！！

お礼日時：2012/09/03 22:38

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/08/24 00:14

自分で考えることはしないの?

この回答へのお礼

しました

お礼日時：2012/08/24 21:17