辺の長さが2の正四面体OABCを・・・

1辺の長さが2の正四面体OABCを考える。（以下ベクトル省きます。）

△ABCの面積は√３
OG=1/3OA + I/3OB + 1/3OC・・・・(1)

(3)(1)式と|OA|=|OB|=|OC|=□、及びOA・OB=OB・OC=OC・OA=□ であることを用いると、

|OG|=□
OG・AB=OG・AC=□
が成り立つことが分かる。

(4)(2)式より正四面体OABCの体積は□となる。

□の部分をお願いします。

No.1 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/09/30 18:03

OA=a,OB=b,OC=cと書きます．

(3)|a|=|b|=|c|=2（辺の長さ），a・b=b・c=c・a=2・2・cos60°=2(各面は辺の長さ2の正三角形）

|OG|=(1/3)√(|a|^2+|b|^2+|c|^2+2a・b+2b・c+2c・a)=(1/3)√(4+4+4+4+4+4)=(2/3)√6
OG・AB=(1/3)(a+b+c)・(b-a)=(1/3)(a・b-|a|^2+|b|^2-b・a+c・b-c・a)=0
OG・AB=(1/3)(a+b+c)・(c-a)=(1/3)(a・c-|a|^2+b・c-b・a+|c|^2-c・a)=0（これは底面ABCがOGに垂直であることをしめす）

以上は底面ABCに対する高さが（2/3）√6であることを示しています．三角形ABCの面積は(1/2)2・2sin60°=√3ですから，
(4)正四面体OABCの体積は(1/3)√3（2/3）√6=（2/3）√2です．

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/09/30 21:38

(3)(1)式と|OA|=|OB|=|OC|=2、

及びOA・OB=OB・OC=OC・OA=2*2*cos(π/3)=2*2*(1/2)=2
であることを用いると、
|OG|=√(OG・OG)
=√{(1/3OA + I/3OB + 1/3OC)・(1/3OA + I/3OB + 1/3OC)}
=√{1/9(OA・OA+OA・OB+OA・OC+OB・OA+OB・OB+OB・OC+OC・OA
+OC・OB+OC・OC)}=√{(1/9)(4+2+2)*3}=√(8/3)=(2√6)/3
OG・AB=OG・AC=(1/3OA + I/3OB + 1/3OC)・(OB-OA)
=(1/3OA + I/3OB + 1/3OC)・OB-(1/3OA + I/3OB + 1/3OC)・OA
=(1/3)(2+4+2)-(1/3)(4+2+2)=0
が成り立つことが分かる。
(4)(2)式より正四面体OABCの体積は(1/3)(√3){(2√6)/3}
=(2√2)/3となる。