FMTの話しの中に、nを偶数として、
整数ω>=2とすると、P=1+ω^(n/2)上でωは原始n乗根となる。
と書いてある。
たしかに、ωはn乗して初めて1とPを法として合同になる。
これは、Pが素数でなくても成立します。
しかし、
原始n乗根の性質として
ω^0 + ω^j + ・・ + ω^((n-1)j) = 0 (j=1,2,...,n-1)
が成立すると書いてある。
ω=2、n=6とすると、
j=1のときは
1+2+4+8+16+32=63=9*7≡0 mod(9) 9=2^(6/2)+1
j=2のときは、
1+4+16+64+256+1024=1365=151*9+6
アルゴリズムの設計と解析II (エイホ 他)の28ページには
原始n乗根の定義の中の条件として、原始n乗根は条件
ω^0 + ω^j + ・・ + ω^((n-1)j) = 0 (j=1,2,...,n-1)
を満たさなくてはならない。
と書いてある。
さて、原始n乗根の定義は何でしょうか?
最初の2は原始n乗根なのでしょうか?
Pには他に条件が付くのでしょうか?
j に条件をつけるのでしょうか?
計算間違いなのか、誤解なのかよく分かりません。
混乱しています。よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
そ~いうことです.
実のところ,
ω^0 + ω^j + ・・ + ω^((n-1)j) = 0 (j=1,2,...,n-1) なら ω は 1 の原始 n乗根
は成り立ちます. ところがそれを実際に示すとその過程で
逆は必ずしも成り立たない
こともわかります. あなたの書いた ω=2, n=6 が「逆は成り立たない」例になります.
9 を法とする剰余系は体にはならないですよね.
ありがとうございました。
アルゴリズムの設計と解析II (エイホ 他)の28ページ
の記述は、議論を簡単にするために仮定した
と理解します。
Pが素数だと結構楽になります。
No.1
- 回答日時:
「n乗すれば 1 になる」のが 1 の n乗根.
そのうち「n乗しなければ 1 にならない」のが 1 の原始 n乗根.
ありがとうございます。
すっきりしましたが、
条件
原始n乗根の定義の中の条件として、原始n乗根は条件
ω^0 + ω^j + ・・ + ω^((n-1)j) = 0 (j=1,2,...,n-1)
を満たさなくてはならない。
は、
要求しないことになりますね。
これが成立するか否かは定義には関係ないが、それを利用する場合には
成立するか否かを検証しなくてはならない。
ということでしょうか。
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