No.1
- 回答日時:
a^μ_λ g_μν a^ν_ρ は、普通の記法で書けば、
Σ[μ=0, 4]Σ[ν=0, 4] a^μ_λ g_μν a^ν_ρ ですので、これを律儀に計算すればよいということになります。
あるいは今の和の記号Σを使った表式を見ると、これが行列の積 (aT)ga の (λ, ρ) 成分であることが分かるので、これを計算しても同じです。
(aはμ行ν列成分が a^μ_ν で与えられる行列、aTはその転値行列としました)
早速、回答いただきありがとうございました。
回答いただいた趣旨のことは理解しているつもりで、その結果は
a^0_λa^0_ρ-a^1_λa^1_ρ-a^2_λa^2_ρ-a^3_λa^3_ρ
となるように思うんですが、これが何故 g_λρと等しいのかが分からないんです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> 回答いただいた趣旨のことは理解しているつもりで、その結果は
> a^0_λa^0_ρ-a^1_λa^1_ρ-a^2_λa^2_ρ-a^3_λa^3_ρ
> となるように思うんですが、これが何故 g_λρと等しいのかが分からないんです。
たとえば λ=ρ=0 のとき、
a^0_0a^0_0-a^1_0a^1_0-a^2_0a^2_0-a^3_0a^3_0
= γ^2 - 0^2 - 0^2 - (-γβ)^2
= γ^2 (1-β^2)
ここで、γの定義が γ=1/√(1-β^2) ですので、γ^2(1-β^2) = 1 となります
他にたとえば λ=0, ρ=1 だったら、
a^0_0a^0_1-a^1_0a^1_1-a^2_0a^2_1-a^3_0a^3_1
= γ*0 - 0*1 - 0^2 - (-γβ)*0
= 0
となります
以上のように、基本的には各成分計算していけば、それぞれ g_λ_ρ に等しいことが分かると思います
ただやはり見通しが悪いので(もちろん実質的には同じことですが)行列の掛け算で考えたほうがすっきりする気がします
何度も解説いただきありがとうございました。
そういうことですね。
λ、ρの全ての組合せについて
検討してみようと思います。
ただ、行列の積として計算すると、全く異なった
行列になったように思いますが・・・。
ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
ローレンツ変換
(☆)dx'^μ=a^μ_νdx^ν
は,世界距離
(★)ds^2=g_{μν}dx^μdx^ν
が不変になるように定義されたものです.線形代数で有名なように行列A=(a^μ_ν)は直交行列となることが知られていて,計量テンソルの行列G=(g_{μν})と次の関係にあります.
A^TGA=G
これは次のようにして証明されます.★は変換☆によって
ds'^2=g_{μν}dx'^μdx'^ν
=g_{μν}a^μ_λdx^λa^ν_ρdx^ρ=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρdx^λdx^ρ
となりますが,要請ds^2=ds'^2のため,
g_{λρ}dx^λdx^ρ=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρdx^λdx^ρ
となります.dxは任意だから
g_{λρ}=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρ
これを行列でかくと,
G=A^TGA
となります.
質問者様はこれを具体的なA,Gの成分で確かめたいというのでしょう.しかし,上の理論で理解できればそれでよいと思います.どうしても確かめたければこの回答欄は一杯になるので
g_{11}=a^μ_1g_{μν}a^ν_1
だけ確認してみましょう.
左辺=-1
右辺=
a^0_1g_{11}a^0_1
+a^0_1g_{11}a^1_1
+a^0_1g_{11}a^2_1
+a^0_1g_{11}a^3_1
+a^1_1g_{11}a^0_1
+a^1_1g_{11}a^1_1
+a^1_1g_{11}a^2_1
+a^1_1g_{11}a^3_1
+a^2_1g_{11}a^0_1
+a^2_1g_{11}a^1_1
+a^2_1g_{11}a^2_1
+a^2_1g_{11}a^3_1
+a^3_1g_{11}a^0_1
+a^3_1g_{11}a^1_1
+a^3_1g_{11}a^2_1
+a^3_1g_{11}a^3_1
=
a^0_1g_{00}a^0_1
+a^0_1g_{01}a^1_1
+a^0_1g_{02}a^2_1
+a^0_1g_{03}a^3_1
+a^1_1g_{10}a^0_1
+a^1_1g_{11}a^1_1
+a^1_1g_{12}a^2_1
+a^1_1g_{13}a^3_1
+a^2_1g_{20}a^0_1
+a^2_1g_{21}a^1_1
+a^2_1g_{22}a^2_1
+a^2_1g_{23}a^3_1
+a^3_1g_{30}a^0_1
+a^3_1g_{31}a^1_1
+a^3_1g_{32}a^2_1
+a^3_1g_{33}a^3_1
=
a^0_1g_{00}a^0_1
+a^1_1g_{11}a^1_1
+a^2_1g_{22}a^2_1
+a^3_1g_{33}a^3_1
=a^0_1a^0_1-a^1_1a^1_1-a^2_1a^2_1-a^3_1a^3_1
=-1
よって左辺=右辺.
これをあと15回繰り返すわけですが,最初の理論を理解できればその必要はありません.
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