数列｛an｝、｛bn｝の共通項から数列作成問題

よろしくお願いします。
an=8n-2
bn=6n+2
とする。

数列｛an｝と｛bn｝に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列｛cn｝
を作る時、cnの初項と公差を求めよ。

という問題で

anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、
8m-4=6n+2
⇔2(2m-1)=3n

これより2と3は互いに素だからn=2k
と表せられる。
よってbnのnに2kを代入して、
cn=b2k=6(2k)+2＝12k+2
ゆえにcn=12n+2


と解きましたが間違っておりました。

解答では、
an=8n-2=8(n-2)+14
bn=6n+2=6(n-2)+14
と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+14
よって
4(m-2)=3(n-2), m≧2、　n≧2
4と3は互いに素だから、kを自然数として
m-2=3(k-1)
よってm=3k-1からcnはanの第3k-1項であり、
8(3k-1)-2=24k-10=14+(k-1)*24
したがって初項14、公差２４である。

と解いてありました。

私の解答のどこがいけないのか、解答は一体何をやっているのか
を教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/02/11 13:43

こんにちわ。

少しツメが甘かったところが原因だと思います。

＞これより2と3は互いに素だからn=2k
はいいのですが、mについてはどうなりますか？
n＝ 2kを代入すると、m＝ (3k+1)/2となります。

n＝ 2kだけであれば、k＝ 1, 2, 3,・・・という数を考えますが、
mの式をみれば kは奇数のときでなければならないことがわかります。
この部分が抜けているために、余計な項が含まれる結果となっています。


「解答」ですが、ベタにいくつか項を書きだすと「14」が最初の共通項であることがわかります。
ですので、その14をキーに変形しているということだと思います。
14が見つかれば、あとは 8と 6の最小公倍数を考えればいいだけですが。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
自分の解答を訂正する場合、

2と3は互いに素だからn=2k
代入して2(2m-1)=3*2k
⇔m=(3k+1)/2
mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…)
よってn=2k=4t-2
cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-10

でよろしいのでしょうか。随分バタバタした解答になってしまいました。

補足日時：2013/02/11 14:48

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/02/11 15:20

#1です。

＞2と3は互いに素だからn=2k
＞代入して2(2m-1)=3*2k
＞⇔m=(3k+1)/2
＞mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…)
＞よってn=2k=4t-2
＞cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-1

そうですね。
もう少し丁寧に言葉は補った方がよいですね。
逆にくどくなるかもしれませんが、記述式であれば以下のような感じで。
---------------------------------------------------
数列 {a(n)}の第 m項と、数列 {b(n)}の第 n項が等しくなるとすると、
8m- 4＝ 6n+ 2
2(2m- 1)＝ 3n ・・・(1式)

2と 3は互いに素だから、nは 2の倍数となり、
n＝ 2k（k＝ 1, 2, 3, ・・・）と表される。

(1式)に代入して、2(2m-1)＝ 3* 2kより m＝ (3k+1)/2
mは自然数であるから、kは奇数でなければならない。
これより、k＝ 2t- 1（t＝ 1, 2, 3, ・・・）と表される。


(1式)を満たす nは n＝ 2(2t- 1)（t＝ 1, 2, 3, ・・・）と表され、
数列 {c(n)}の一般項は
c(t)＝ b(2(2t-1))＝ 6*2(2t-1)+ 2＝ 24t- 10

と表される。

よって、数列 {c(n)}の初項は 14、公差は 24となる。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
おかげで理解できました！

お礼日時：2013/02/11 17:40