No.2ベストアンサー
- 回答日時:
先の質問のANo2で回答したものです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7942685.html
関数g(x)がy軸対称である必要十分条件は
xの定義域でg(x)=g(-x)が恒等的に成立することです。
これをf(x)に適用すれば
f(x)の対称軸x=kが存在する場合
f(x)をkだけ負方向に移動(k<0であれば正方向に移動)すれば
f(x+k)となり、これをy軸に対称移動すればf(-x+k)となります。f(x)が対称軸x=kに対して対称であれば、f(x+k)はy軸(x=0)に対して対称になるので
f(x+k)=f(-x+k) ...(☆)
が恒等的に成立します。
f(-x+k)をx軸の正方向にkだけ平行移動すると
f(-(x-k)+k)=f(-x+2k)となります。
つまり、f(x)が直線x=kについて対称であれば、
f(x)=f(-x+2k)…(★)
が(xの定義域で)恒等的に成り立ちます。
(☆)と(★)のxについての恒等式は等価です。
(☆)の恒等式
f(x+k)=f(-x+k)
が成り立っていれば、f(x+k)はy軸対称なので、f(x+k)(およびf(-x+k))はxの偶数次項だけになり、奇数次項の係数は全てゼロになります。このことから
f(x+k)=ax^4+(4ak+b)x^3+(6ak^2+3bk+c)x^2+(4ak^3+3bk^2+2ck+d)x+(ak^4+bk^3+ck^2+dk+e)
xの奇数次の係数をゼロと置いて
4ak+b=0 ...(A)
4ak^3+3bk^2+2ck+d=0 ...(B)
(A),(B)が成立するとき、(☆)の恒等式が成り立つことは言うまでもありません。
この先の解答は先の質問のANo.2の回答に既に書いた通りです。
(A)から、k=-b/(4a) ...(C)
これを(B)に代入してkを消去すれば
d=-b(b^2-4ac)/(8a^2) (a≠0)...(D)
というf(x)の係数の関係式が得られます。
a(≠0),b,c,eは自由に与えて構いません。
これらの係数から(D)によりdが決まります。
求めたa,b,c,d,eに対するf(x)は
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2-b{(b^2-4ac)/(8a^2)}x+e
となります。
このf(x)は直線x(=k)=-b/(4a)に対して線対称になります。
[検証]適当なa,b,c,eを色々与えてdとkを計算してf(x)を決定し
y=f(x)のグラフを描いてみて、対称軸y=kに線対称な関数になっていることを確認してみてください。
この回答への補足
f(x+k)=f(-x+k)が成立するのはf(x)がx=kで対称な場合のみではないんですか?
その場合は必要条件しか満たしていないと思うのですが
No.5
- 回答日時:
No.2~No.4です。
ANo.4の補足について
>具体的に考えたいのでi(x)=(x-3)^2とします
>i(x)を-3だけずらすとi(x+3)
i(x+3)=((x+3)-3)^2=x^2
>i(-x)を-3だけずらすとi(-x+3)
このi(-x)は何のタメか理解不能!!
i(-x)を持ち出す考えが理解不能。
i(-x+3)=(-x)^2=x^2を持ち出すなら分かる。
これを+3ずらすと
i(-(x-3)+3)=i(-x+6)=((-x+6)-3)^2=(-x+3)^2=(x-3)^2
>i(x)がy軸対称ならばi(x)=i(-x)だからi(x+3)=i(-x+3)
「i(x)がy軸対称ならば」こんな仮定を持ち出すのはナンセンス!! 理解不能!!
>i(x)がy軸対称なのは今回の場合自明なので
自明ではない!間違ってる。i(x)=(x-3)^2のどこがy軸対称なのか?理解不能!!
なので以下の記述はナンセンスな文章!!
>i(x)がy軸対称⇔i(x+k)=i(-x+k)ですが、f(x)は自明ではないですよね?正しくない仮定「i(x)がy軸対称」をして何の積りか理解不能!!
以下も間違った仮定「f(x)がy軸対称」をしてる。間違った仮定からは間違った結論しか出てこない。
↓↓
>f(x)がy軸対称⇒f(x+k)=f(-x+k)であって
>ff(x+k)=f(-x+k)⇒f(x)がy軸対称は分からないですよね
>何度も読み、図も書いた結果、このi(x)の例のことを言っていると思ったのですが違うのでしょうか?
i(x)はいいとしても、理解できていないのて、論理展開が理解不能!!成り立たない仮定をしても、何の有用な結論は得られないよ!
「何度も読み、図も書いた結果」とあるけど、他分図が間違ってるかも? 理解もできていないから、誤った仮定をして誤った論理展開をしてる。そこからは正しい結果は導けないよ。
フリーソフトのGRAPESでもダウンロードして、
y=a*x^4+b*x^3+c*x^2-b*((b^2-4*a*c)/(8*a^2))x+m
と対称軸となるx=-b/(4*a) ...k=-b/(4*a)
の式を陰関数として入力してプロットして見て下さい。
同グラフィックソフトでは「e」は自然対数の底(ネイピア数)に割り当てられているので「m」を使っています。
a,b,c,mを色々変えてみて下さい。そして、同時に
yの式のxを(x-b/(4*a))でおきかえた式yを入力して見て下さい。またyの式のxを(-x-b/(4*a))でおきかえた式yを入力して見て下さい。
そしてグラフの相互関係を確認下さい。
そうすると理解できるかもしれません。
No.4
- 回答日時:
No.2,No.3です。
ANo.4の補足について
>f(x)を-k(k>0)だけずらすとf(x+k)
f(-x)を-kだけずらすとf(-x+k)
>f(x)がy軸対称ならば、
これは何ですか?
「f(x)は直線x=kについて軸対称ならば」
または
「g(x)=f(x+k)はy軸対称ならば」
の間違いでしょう?
>f(x)=f(-x)だからf(x+k)=f(-x+k)
これも
「g(x)=f(x+k),g(x)=g(-x)だからf(x+k)=f(-x+k)」
の間違い。
>f(x+k)=f(-x+k)ならばf(x)がy軸対称は満たしていませんよね?
当たり前、「f(x)がy軸対称」は「g(x)=f(x+k)がy軸対称」
の間違いです。
なのでこの質問は愚問です。
先の質問の回答とANo.2の回答を正しく理解されていません。
もう一度、熟読し、図を描いて理解するようにして下さい。
この回答への補足
すみません、文字が一緒でややこしくなっていますね
具体的に考えたいのでi(x)=(x-3)^2とします
i(x)を-3だけずらすとi(x+3)
i(-x)を-3だけずらすとi(-x+3)
i(x)がy軸対称ならばi(x)=i(-x)だからi(x+3)=i(-x+3)
i(x)がy軸対称なのは今回の場合自明なのでi(x)がy軸対称⇔i(x+k)=i(-x+k)ですが、f(x)は自明ではないですよね?
f(x)がy軸対称⇒f(x+k)=f(-x+k)であってff(x+k)=f(-x+k)⇒f(x)がy軸対称は分からないですよね
何度も読み、図も書いた結果、このi(x)の例のことを言っていると思ったのですが違うのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
No.2です。
ANo.2の補足について
>f(x+k)=f(-x+k)が成立するのはf(x)がx=kで対称な場合のみではないんですか?
>その場合は必要条件しか満たしていないと思うのですが
なぜ、そう考えるのですか?
「f(x+k)=f(-x+k)」は「f(x)が直線x=kに対する軸対称である」ことの定義そのもの(の1つ)です。
「f(x)=f(2k-x)」も「f(x)が直線x=kに対する軸対称である」ことの定義の1つです。
なのでそのまま理解すべきで、軸対称の必要条件と考えること自体、適当ではありません。
質問者さんのいう必要条件は、何に対する必要条件ですか?
何か、勘違いしていませんか?
この回答への補足
f(x)を-k(k>0)だけずらすとf(x+k)
f(-x)を-kだけずらすとf(-x+k)
f(x)がy軸対称ならば、f(x)=f(-x)だからf(x+k)=f(-x+k)
で、f(x+k)=f(-x+k)ならばf(x)がy軸対称は満たしていませんよね?
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