三角関数 最大値最小値 合成

関数y＝sin2θ＋2(sinθ＋cosθ)-1
について、θの範囲は0≦θ<2πである。


ｋ=sinθ＋cosθと置くとき、yをkの式で表し
ｋの取りうる値の範囲とyの最大値最小値
その時のθの値を求めよ。




途中までは考えれました。

合っているかは分かりませんが
ｙ＝k2乗＋2k-2


この問題教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： Wis10 回答日時： 2013/02/15 23:19

こんにちは。

　y = k^2 + 2k - 2
までは大丈夫ですよ＾＾　ここから先は、三角関数の合成を利用して考えます。

　k = sinθ + cosθ
を変形させると、
　k = √2 * sin(θ+(π/4))
と表すことができます。この時、0≦θ＜2π より π/4≦θ+π/4≦9π/4 になりますので、
　-1 ≦ sin(θ+(π/4)) ≦ 1
つまり k の値の範囲は
　-√2 ≦ k ≦ √2
になります。

次に、y の式（ y = k^2 + 2k - 2 ）を変形させて
　y = ( k + 1 )^2 - 3
　（ -√2 ≦ k ≦ √2 ）
として考えれば、
　y の最大値は k = √2 で 2√2
　y の最小値は k = -1 で -3
と値が出ます。

以上から、 y が最大値をとるとき、 k = √2 なので
　√2 * sin(θ+(π/4)) = √2
　　⇒ θ = π/4
y が最小値をとるとき、 k = -1 なので
　√2 * sin(θ+(π/4)) = -1
　　⇒ θ = π
と求めることができますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
とてもよく分かりました(o^^o)

お礼日時：2013/02/18 20:56

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/02/15 23:16

ｋ=sinθ＋cosθ (1)

k^2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ

y＝sin2θ＋2(sinθ＋cosθ)-1=k^2-1+2k-1=k^2+2k-2=(k+1)^2-3　(2)

(1)より

k=√2sin(θ+π/4）

0≦θ<2πより

-√2≦k≦√2　　(3)

(3)の範囲で(2)のグラフを書けば最大最少がわかる


最大2√2（k=√2)

最小-3（k=-1）


この問題はkのグラフ、ｙのグラフがかけることがポイントです。