1辺の長さがaである正方形を

底面とする正四角錐Vに対し、底面上に中心をもちVの全ての辺と接する球Bがある

BとVの共通部分の体積はいくつか

解き方を教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/22 15:21

正四角錐を、底面の正方形の対角線を通る垂直面で切ったときの断面や、

正方形の対辺の中点を結ぶ直線を通る垂直面で切ったときの断面を図に描いてみてください。

球の半径は、a/2
正四角錐の高さは、√2a/2
まではすぐ出るでしょう。

球を正四角錐の１つの側面で切り取ったものは、片面凸レンズのような形になりますが、
その高さは、(3-√6)a/6 となります。

高さが分かれば、その体積が出せますね。

あとは、半球から片面凸レンズ４枚の体積を引けば求める答が出てきます。

この回答への補足

正四角錐の高さが√2a/2となるのは何故ですか？
あと、球を正四角錐の１つの側面で切り取ったものはどういう図になりますか？
正四角錐と球の図を描いてみたのですが球が円にしか見えないほど画力と想像力がないのでわかりません

補足日時：2013/02/22 15:31

No.8 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/23 01:16

＞半円がすっぽり入る三角形が直角二等辺三角形と言えるのは何故ですか？

ちょっと言葉が足りなかったようです。
半径a/2の半円がすっぽり入る底辺√2aの三角形は直角二等辺三角形になります。

添付図は正四角錐を底面の正方形の対角線を通る垂直面で切ったときの断面図です。
OQ=√2a/2　（正方形の対角線の半分）
OS=a/2　　（球の半径）
三平方の定理より、
QS=√(OQ^2-OS^2)=√(a^2/2-a^2/4)=a/2
よって、△OQSは直角二等辺三角形となり、∠OQP=45°
反対側の∠ORPも同じく45°なので、△PQRは直角二等辺三角形となる。


＞あと、片面凸レンズ形はどの部位のことですか？

No.6の図で、半円を直線PQで切ったときの左上の部分です。
図の円の部分の前後を膨らませた球を想像してみてしょう。

半球は四角錘の中に納まっているのではなく、４つの側面を突き破って飛び出しています。
その飛び出した部分が片面凸レンズ形になります。

この回答への補足

ようやく凸レンズ形の高さが(1-√2)a/2だとわかりました
凸レンズ形の体積はどうやって求めるのでしょうか？
底面の対辺の中点を繋いだ線分と正四角錐の頂点を通る平面で見た凸レンズ形の面積が分からないと求まらないと思うのですが

補足日時：2013/02/23 08:34

No.7 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/02/23 00:34

質問者さんの返事を拝見すると断面図をきちんと描けていないように思います。

空間図形の問題の多くは空間ではなく平面で考えます。
他の回答者さんが断面図の一部を描いてくださっていますが、

今一度
(1)三角錐の頂点と底面の正方形の対角線を通る面
(2)三角錐の頂点と底面の正方形の対辺の中点を結ぶ線を通る面
で球と三角錐を切断した断面を作図されたほうがいいと思います。

その上でわかっている長さを記入していけば
直角二等辺三角形になる理由など見える部分が多いと思います。

この回答への補足

その通りです
図形を書くのが苦手なので苦心して書いてみます

補足日時：2013/02/23 08:35

No.6 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/22 18:09

＞正四角錐の高さが√2a/2となるのは何故ですか？

No.5さんが図を描いているように、半円がすっぽり入る三角形は直角二等辺三角形です。
その高さは、底辺の半分。
底辺は正方形の対角線だから、√2a
よって、正四角錐の高さは√2a/2となります。


正方形の対辺の中点を結ぶ直線を通る垂直面で切ったときの断面図は添付図のようになります。

OPとOQが分かっているので三平方の定理からPQが分かります。
（PQは一辺aの正三角形の高さでもあるから、これで求めてもいい）

三角形OPQの面積を考えると、
OP×OQ/2＝PQ×OS/2
だから、これからOSがわかり、RS=OR-OS　で片面凸レンズ形の高さが分かります。

あとは、回転体の公式を使えばその体積が分かります。

この回答への補足

半円がすっぽり入る三角形が直角二等辺三角形と言えるのは何故ですか？
あと、片面凸レンズ形はどの部位のことですか？球を正四角錐の１つの側面で切り取ったものと言われると、正四角錐を底面に平行に切った台形の中に円の一部である曲線が対照的に2つ見える図形を思い浮かべますが、この図形ではないですよね？

補足日時：2013/02/22 18:30

No.5 回答者： CC_T 回答日時： 2013/02/22 16:38

No.2　より

対角線で切った側面図を見ると、底面を対角線で切った物と同じ形になっています。
（全ての辺に接しているから、そうなる）
つまり、正四角錐の辺の長さは全てaです。

ここまでお絵かきしておきましたので、参考にしてください。

次に、四角錐の側面から球がはみ出ている部分を考えると、その断面は円形（球は何処で切っても断面が円）。
この円の中心から球の中心までの距離Hを求めることができる。
（これは球の中心から各辺に下した垂線に等しい）
さらに、そこから進めて断面円の半径を求める事が出来る。


球の半径は分かっているから、これとＨの関係からはみ出た部分の断面（三日月形部分）の面積を求める事が出来、これが180度回転したものが、はみ出た部分の面積となる（0→πで積分）。

それ４つ分を半球の体積から差し引くと、求める共通部分が求まる。

・・・はず。
ざっと考えただけで数式確認してませんが、取り急ぎ考え方の手助けになるかと描いておきます。

この回答への補足

対角線で切った側面図を見ると、底面を対角線で切った物と同じ形らしいのですが、対角線で切った側面図とは何の対角線で切ったのですか？球ではないから正四角錐だと思いますが正四角錐に対角線ってありますか？

補足日時：2013/02/22 18:33

No.3 回答者： CC_T 回答日時： 2013/02/22 14:40

失礼。

ただ、球体は角錐の面からはみ出てますね。
早計でした。
夕刻までにフォロー無ければ後ほど時間取って考え直しますが、ちょっと今は無理。

「底面中心と球中心が一致」というのは良いと思います。
底面中心からどちらにずれても、底部分の４辺と接することにならない。つまり、「全ての辺と接する」という条件を満たさないはずです。

この回答への補足

わかりました
球の中心が四角錐の底面の中心というのを手がかりにやってみます

補足日時：2013/02/22 15:03

No.2 回答者： CC_T 回答日時： 2013/02/22 12:54

まず、Ｂの中心がＶの底辺上にあって、ＢがＶの全ての辺と接するというのがイメージできてないのでしょうね。

早い話、少なくとも底面の４辺とＢが接している以上は、Ｂの中心はＶの底辺中央でなきゃ話にならない。
つまりＢの半径はa/2であり、求める共通部分はＢの半球ってことです。

あとは球の体積の公式に当てはめればOKですね。

この回答への補足

「求める共通部分はＢの半球ってことです。」
なぜ分かるのですか？

補足日時：2013/02/22 14:18

No.1 回答者： noname#174784 回答日時： 2013/02/22 10:34

a×B=V

この回答への補足

つまりどういうことですか？

補足日時：2013/02/22 15:02