(問題)
正四角錐Vに対し、その底面上に中心を持ち、そのすべての辺と接する球がある。底面の1辺の長さをaとするとき、Vの高さを求めよ。 (東京大)
(解)
Vの頂点をP、底面をABCDとし、対角線ACとBDの交点をOとする。
球の中心は底面上にあり、正方形ABCDのすべての辺と接するから、球の中心はOで、半径はa/2である。
次に、平面PACによる切り口を考えると、球が辺PAと接するから
辺ADが球と接する点をM、辺PAが球と接する点をNとすると、△AOMと△AONは合同である。
よって∠PAO=45°
Vの高さはPO=AO=(√2/2)a
これは参考書に載っていた東大の入試問題です。
解けずに回答を見たところ、「Vの頂点をP~半径はa/2である。」のところまでは理解できたのですが、それ以降が分かりません。
なぜ球が辺PAと接するから△AOMと△AONは合同?
なぜ∠PAO=45°?
なぜVの高さはPO=AO=(√2/2)a?
詳しい解説をお願いします。
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